Question

【题目】在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°

（1）如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF

①求证：△AED≌△AFD；

②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；

（2）如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②DE＝；（2）DE的值为3或3

【解析】

（1）①先证明∠DAE＝∠DAF，结合DA＝DA，AE＝AF，即可证明；②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．在Rt△DCF中，由DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，可得x2＝（7﹣x）2+32，解方程即可；

（2）分两种情形：①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．由△EAD≌△ADC，推出∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝5，推出∠EBD＝90°，推出DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D在CB的延长线上时，如图3中，同法可得DE2＝153．

（1）①如图1中，

∵将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，

∴△BAE≌△CAF，

∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，

∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，

∴∠CAD+∠BAE＝∠CAD+∠CAF＝45°，

∴∠DAE＝∠DAF，

∵DA＝DA，AE＝AF，

∴△AED≌△AFD（SAS）；

②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∵∠ABE＝∠ACF＝45°，

∴∠DCF＝90°，

∵△AED≌△AFD（SAS），

∴DE＝DF＝x，

∵在Rt△DCF中， DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，

∴x2＝（7﹣x）2+32，

∴x＝，

∴DE＝；

（2）∵BD＝3，BC＝9，

∴分两种情况如下：

①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．

∵∠BAC＝∠EAD＝90°，

∴∠EAB＝∠DAC，

∵AE＝AD，AB＝AC，

∴△EAB≌△DAC（SAS），

∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，

∴∠EBD＝90°，

∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，

∴DE＝3；

②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．

同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，

∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，

∴DE＝3，

综上所述，DE的值为3或3．