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【题目】如图,四边形ABCD的对角线ACBD相交于点OOBODBDCD,∠BAC=∠BDC=90°.

(1)填空:∠ABD=∠   

(2)求的值;

(3)点D关于直线BC的对称点为N,连接AN,请补全图形,探究线段ANAD有怎样的关系,并加以证明.

【答案】(1)ACD;(2);(3)ADAN

【解析】

(1)因为∠BAC=BDC=90°,得到∠ABD+AOB=90°,ACD+COD=90°,根据等角的余角相等,即可得到∠ABD=ACD

(2)作DHOCH证明BAO≌△DHO根据全等三角形的性质得到AB=DH,设OD=OB=a,则BD=CD=2a根据等面积法求出DH的长度,即可求出的值;

(3)连接BNCN根据BDC是等腰直角三角形,得到DN关于BC对称,有OA=OD=ON=OB=OC得到ABNCD五点共圆,根据圆周角定理得到AND=ACD即可求出

解:(1)∵∠BAC=BDC=90°

∴∠ABD+AOB=90°,∠ACD+COD=90°

∵∠AOB=COD

∴∠ABD=ACD

故答案为ACD

2)作DHOCH

∵∠BAO=DHO=90°,∠AOB=DOHOB=OD

∴△BAO≌△DHO

AB=DH,设OD=OB=a,则BD=CD=2a

3)结论:ADAN

理由:连接BNCN

∵△BDC是等腰直角三角形,

DN关于BC对称,

四边形DBNC是正方形,设BC的中点为O,连接ONOAOD

则有OA=OD=ON=OB=OC

ABNCD五点共圆,

DNO的直径,

∴∠DAN=90°

ADAN

∵∠AND=ACD

tanAND=tanACD

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