Question

20．若a+4$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）²，且a，m，n均为正整数，求a的值．

Answer 1

分析 根据完全平方公式计算（m+n$\sqrt{3}$）²，再根据对应项相等列出方程可求a的值．

解答 解：（m+n$\sqrt{3}$）²
=m²+2$\sqrt{3}$mn+3n²
=（m²+3n²）+2$\sqrt{3}$mn，
∵a+4$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m}^{2}+3{n}^{2}=a\\ 2\sqrt{3}mn=4\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴mn=2．
∵m，n均为正整数，
∴当m=1时，n=2；当m=2时，n=1．
当m=1，n=2时，a=m²+3n²=1+12=13；
当m=2，n=1时，a=m²+3n²=4+3=7．
综上所述，a的值为13或7．

点评 考查了实数的运算，关键是熟练掌握完全平方公式，以及方程思想的应用．