Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一个动点，（点D不要B，C重合），以AD为边在AD的上边作正方形ADEF，连接CF．

（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为_____；②AC、CD、CF之间的数量关系为_____．

（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，以上①、②关系是否成立？若成立去，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由．

（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GD，若AB=2，CD=BC，求出DG的长．

Answer 1

【答案】 BC⊥CF CF+CD=AC

【解析】分析：（1）①证出∠BAD=∠CAF，由SAS证明△BAD≌△CAF，得出∠ACF=∠ABD=45°，证出∠ACF+∠ACB=90°，即可得出结论；②由全等三角形的性质得出BD=CF，证出CF=BC-CD即可；(2)、①证出∠BAD=∠CAF，由SAS证明△BAD≌△CAF，得出∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°，证出∠ACB+∠FCB=135°，得出∠FCB=90°，即可得出结论；

②由全等三角形的性质得出BD=CF，证出CF=CD-BC即可；(3)、由SAS证明△BAD≌△CAF，得出∠ACF=∠ABD=45°，证出∠FCB=∠ACF+∠ACB=90°，得出CF⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理得出AC=AB=2，在Rt△AGC中，得出CG=AC=4，同理BC=4，CD=BC=1，在Rt△DCG中，由勾股定理即可求出DG的长．

详解：（1）①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，

∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠ABD=45°，∴∠ACF+∠ACB=90°，∴∠BCF=90°，

∴BC⊥CF，

②∵△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC，又∵Rt△ABC中，BC=AC，

∴CF+CD=AC；

（2）①成立，②不成立，正确的结论为CD﹣CF=AC．

理由：①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAF+∠FAC=90°，∠DAF=∠BAF+∠DAB=90°，

∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，

AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF， ∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=180°﹣45°=135°，∴∠ACB+∠FCB=135°， ∴∠FCB=90°， ∴BC⊥CF；

②∵△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∵CD﹣BD=BC∴CD﹣CF=BC，

又∵Rt△ABC中，BC=AC， ∴CD﹣CF=AC；

（3）由题意得：∠BAC=∠FAD=90°， ∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=45°，∴∠FCB=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BC，

在Rt△ABC中，AC=AB=2，BC=4，在Rt△AGC中，∵∠ACF=45°，

∴CG=AC=×2=4， ∵CD=BC=×4=1，

∴在Rt△DCG中，DG=．