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【题目】如图1,矩形OABC顶点B的坐标为(83),定点D的坐标为(120),动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动,动点Q从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动,PQ两点同时运动,相遇时停止.在运动过程中,以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR.设运动时间为t秒.

1)当t=   时,△PQR的边QR经过点B

2)设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式;

3)如图2,过定点E50)作EF⊥BC,垂足为F,当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时,过点Rx轴、y轴的平行线,分别交EFBC于点MN,若∠MAN=45°,求t的值.

【答案】(1)1

(2)

(3)t的值为(8﹣2

【解析】试题分析:(1△PQR的边QR经过点B时,△ABQ构成等腰直角三角形,则有AB=AQ,由此列方程求出t的值;

2)在图形运动的过程中,有三种情形,需要分类讨论,避免漏解;

3)由已知可得ABFE为正方形;其次通过旋转,由三角形全等证明MN=EM+BN;设EM=mBN=n,在Rt△FMN中,由勾股定理得到等式:mn+3m+n﹣9=0,由此等式列方程求出时间t的值.

试题解析:(1△PQR的边QR经过点B时,△ABQ构成等腰直角三角形,

∴AB=AQ,即3=4﹣t

∴t=1

即当t=1秒时,△PQR的边QR经过点B

20≤t≤1时,如答图1﹣1所示.

PRBC于点G

过点PPH⊥BC于点H,则CH=OP=2tGH=PH=3

S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC

=8×3﹣2t+2t+3×3

=﹣6t+

1t≤2时,如答图1﹣2所示.

PRBC于点GRQBCAB于点ST

过点PPH⊥BC于点H,则CH=OP=2tGH=PH=3

QD=t,则AQ=AT=4﹣t

∴BT=BS=AB﹣AQ=3﹣4﹣t=t﹣1

S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC﹣SBST

=8×3﹣2t+2t+3×3﹣t﹣12

=﹣t2﹣5t+19

2t≤4时,如答图1﹣3所示.

RQAB交于点T,则AT=AQ=4﹣t

PQ=12﹣3t∴PR=RQ=12﹣3t).

S=SPQR﹣SAQT

=PR2AQ2

=12﹣3t24﹣t2

=t2﹣14t+28

综上所述,S关于t的函数关系式为:

3∵E50),∴AE=AB=3

四边形ABFE是正方形.

如答图2,将△AME绕点A顺时针旋转90°,得到△ABM′,其中AEAB重合.

∵∠MAN=45°∴∠EAM+∠NAB=45°

∴∠BAM′+∠NAB=45°

∴∠MAN=∠M′AN

连接MN.在△MAN△M′AN中,

∴△MAN≌△M′ANSAS).

∴MN=M′N=M′B+BN

∴MN=EM+BN

EM=mBN=n,则FM=3﹣mFN=3﹣n

Rt△FMN中,由勾股定理得:FM2+FN2=MN2,即(3﹣m2+3﹣n2=m+n2

整理得:mn+3m+n﹣9=0

延长MRx轴于点S,则m=EM=RS=PQ=12﹣3t),

∵QS=PQ=12﹣3t),AQ=4﹣t

∴n=BN=AS=QS﹣AQ=12﹣3t4﹣t=﹣t+2

∴m=3n

代入式,化简得:n2+4n﹣3=0

解得n=﹣2+n=﹣2﹣(舍去)

∴2﹣t=﹣2+

解得:t=8﹣2

∠MAN=45°,则t的值为(8﹣2)秒.

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