【题目】如图1,矩形OABC顶点B的坐标为(8,3),定点D的坐标为(12,0),动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动,动点Q从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动,PQ两点同时运动,相遇时停止.在运动过程中,以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR.设运动时间为t秒.
(1)当t= 时,△PQR的边QR经过点B;
(2)设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式;
(3)如图2,过定点E(5,0)作EF⊥BC,垂足为F,当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时,过点R作x轴、y轴的平行线,分别交EF、BC于点M、N,若∠MAN=45°,求t的值.
【答案】(1)1秒
(2)
(3)t的值为(8﹣2)
【解析】试题分析:(1)△PQR的边QR经过点B时,△ABQ构成等腰直角三角形,则有AB=AQ,由此列方程求出t的值;
(2)在图形运动的过程中,有三种情形,需要分类讨论,避免漏解;
(3)由已知可得ABFE为正方形;其次通过旋转,由三角形全等证明MN=EM+BN;设EM=m,BN=n,在Rt△FMN中,由勾股定理得到等式:mn+3(m+n)﹣9=0,由此等式列方程求出时间t的值.
试题解析:(1)△PQR的边QR经过点B时,△ABQ构成等腰直角三角形,
∴AB=AQ,即3=4﹣t,
∴t=1.
即当t=1秒时,△PQR的边QR经过点B.
(2)①当0≤t≤1时,如答图1﹣1所示.
设PR交BC于点G,
过点P作PH⊥BC于点H,则CH=OP=2t,GH=PH=3.
S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC
=8×3﹣(2t+2t+3)×3
=﹣6t+;
②当1<t≤2时,如答图1﹣2所示.
设PR交BC于点G,RQ交BC、AB于点S、T.
过点P作PH⊥BC于点H,则CH=OP=2t,GH=PH=3.
QD=t,则AQ=AT=4﹣t,
∴BT=BS=AB﹣AQ=3﹣(4﹣t)=t﹣1.
S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC﹣S△BST
=8×3﹣(2t+2t+3)×3﹣(t﹣1)2
=﹣t2﹣5t+19;
③当2<t≤4时,如答图1﹣3所示.
设RQ与AB交于点T,则AT=AQ=4﹣t.
PQ=12﹣3t,∴PR=RQ=(12﹣3t).
S=S△PQR﹣S△AQT
=PR2﹣AQ2
=(12﹣3t)2﹣(4﹣t)2
=t2﹣14t+28.
综上所述,S关于t的函数关系式为:
.
(3)∵E(5,0),∴AE=AB=3,
∴四边形ABFE是正方形.
如答图2,将△AME绕点A顺时针旋转90°,得到△ABM′,其中AE与AB重合.
∵∠MAN=45°,∴∠EAM+∠NAB=45°,
∴∠BAM′+∠NAB=45°,
∴∠MAN=∠M′AN.
连接MN.在△MAN与△M′AN中,
∴△MAN≌△M′AN(SAS).
∴MN=M′N=M′B+BN
∴MN=EM+BN.
设EM=m,BN=n,则FM=3﹣m,FN=3﹣n.
在Rt△FMN中,由勾股定理得:FM2+FN2=MN2,即(3﹣m)2+(3﹣n)2=(m+n)2,
整理得:mn+3(m+n)﹣9=0. ①
延长MR交x轴于点S,则m=EM=RS=PQ=(12﹣3t),
∵QS=PQ=(12﹣3t),AQ=4﹣t,
∴n=BN=AS=QS﹣AQ=(12﹣3t)﹣(4﹣t)=﹣t+2.
∴m=3n,
代入①式,化简得:n2+4n﹣3=0,
解得n=﹣2+或n=﹣2﹣(舍去)
∴2﹣t=﹣2+
解得:t=8﹣2.
∴若∠MAN=45°,则t的值为(8﹣2)秒.
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【题目】如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,BC=6, .求BE的长.
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【题目】已知在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(2,2),对称轴是直线x=1,顶点为B.
(1)求这条抛物线的表达式和点B的坐标;
(2)点M在对称轴上,且位于顶点上方,设它的纵坐标为m,联结AM,用含m的代数式表示∠AMB的余切值;
(3)将该抛物线向上或向下平移,使得新抛物线的顶点C在x轴上.原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q,如果OP=OQ,求点Q的坐标.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AT是经过点A的切线,弦CD垂直AB于P点,Q为线段CP的中点,连接BQ并延长交切线AT于T点,连接OT.
(1)求证:BC∥OT;
(2)若⊙O直径为10,CD=8,求AT的长;
(3)延长TO交直线CD于R,若⊙O直径为10,CD=8,求TR的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线AB:yx+4交x轴于点A,交y轴于点B.直线CD:yx﹣1与直线AB相交于点M,交x轴于点C,交y轴于点D.
(1)直接写出点B和点D的坐标;
(2)若点P是射线MD上的一个动点,设点P的横坐标是x,△PBM的面积是S,求S与x之间的函数关系;
(3)当S=20时,平面直角坐标系内是否存在点E,使以点B、E、P、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】已知,点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0,且满足|a+8|+(b﹣12)2=0,点M、N分别从O、B出发,同时向左匀速运动,M的速度为1个单位长度每秒,N的速度为3个单位长度每秒,A、B之间的距离定义为:AB=|a﹣b|.
(1)直接写出OA= .OB= ;
(2)设运动的时间为t秒,当t为何值时,恰好有AN=2AM;
(3)若点P为线段AM的中点,Q为线段BN的中点,M、N在运动的过程中,PQ+MN的长度是否发生变化?若不变,请说明理由,若变化,当t为何值时,PQ+MN有最小值?最小值是多少?
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【题目】某企业投资112万元引进一条农产品加工生产线,若不计维修、保养等费用,预计投产后每年可创利33万元,该生产线投产后从第一年到第x年的维修、保养费用累计为y万元,且y=ax 2 +bx,若第一年的维修保养费用为2万元,第二年为4万元.
(1)求y关于x的解析式;
(2)设x年后企业纯利润为z万元(纯利润=创利-维修、保养费用),投产后这个企业在第几年就能收回投资?
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