Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是第二象限的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？最大面积是多少？
（3）当（2）中点P运动到△PAB的面积最大时，x轴上是否存在点D，使△PDB的周长最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A（-4，0），B（0，4）代入抛物线y=-x²+bx+c，可得出抛物线解析式，当y=0时即可得出点C的坐标．
（2）设y=x+b与抛物线y=-x²-3x+4只有一个交点时，△PAB的面积最大，利用判别式求出b的值，再联立可得出点P的坐标，过点B作BM⊥PN交PN于点M，利用三角函数求出BM，再利用△PAB的面积公式即可求出答案．
（3）连接BP，作点B关于原点O的对称点B′，连接B′P，交x轴于点D，这时△PDB的周长最小．先求出点B′的坐标，再利用坐标求出PB′所在的直线，即可求出与x轴的交点D的坐标．

解答：解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（-4，0），B（0，4）抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，可得

-16-4b+c=0 c=4

，解得

b=-3 c=4

，
∴抛物线解析式为y=-x²-3x+4．
令y=0，得-x²-3x+4=0，
解得x₁=-4，x₂=1，
∴C（1，0）．
（2）如图1，

设y=x+b与抛物线y=-x²-3x+4只有一个交点时，△PAB的面积最大，
∵由x+b=-x²-3x+4化简x²+4x+b-4只有一个解，得△=16-4×（b-4）=32-4b=0，解得b=8．
∴y=x+8，
∴联立得方程组得

y=x+8 y=-x2-3x+4

，
解得

x=-2 y=6

，
∴P（-2，6）
过点B作BM⊥PN交PN于点M，
∵BN=ON-OB=8-4=4，sin∠MNB=

2

2

，
∴BM=4×

2

2

=2

2

，
△PAB的面积=

1

2

AB•BM=

1

2

×4

2

×2

2

=8．
（3）存在．
如图2，

连接BP，作点B关于原点O的对称点B′，连接B′P，交x轴于点D，这时△PDB的周长最小．
∵点B（0，4），
∴点B′（0，-4），
∵P（-2，6）
∴设PB′所在的直线为y=kx+b得

-4=b 6=-2k+b

，
解得

k=-5 b=-4

∴PB′所在的直线为y=-5x-4，
点D的坐标为（-

4

5

，0）．

点评：本题主要考查了二次函数图象与其他函数图象相结合问题，解题的关键是根据一次函数系数与图象的位置关系判断出图象特征．