Question

如图①，已知反比例函数y=

m

x

（m≠0）的图象经过点A（-1，3），一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A和点C（0，4），且与反比例函数的图象相交于另一点B．
（1）求这两个函数的解析式和点B的坐标；
（2）根据图象，直接写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）若直线AO、BO分别交双曲线的另一分支于点D、点E，如图②，那么在x轴上是否存在一点G，使得S_△AOG=S_{四边形ABDE}？若存在，求出此时G点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求反比例函数解析式,平行四边形的判定与性质,中心对称图形

专题：综合题

分析：（1）只需运用待定系数法就可求出两个函数的解析式，然后只需将两个函数的解析式组成方程组，解这个方程组就可求出点B的坐标．
（2）利用数形结合就可解决问题．
（3）易证四边形ABDE是平行四边形，就可得到S_{四边形ABDE}=4S_△OAB，然后只需运用割补法求出△OAB的面积，就可得到△AOG的面积，就可求出OG的长，就可得到点G的坐标．

解答：解：∵反比例函数y=

m

x

（m≠0）的图象经过点A（-1，3），
∴m=-1×3=-3．
∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A和点C（0，4），
∴

-k+b=3 b=4

，
解得：

k=1 b=4

，
∴反比例函数的解析式为y=-

3

x

，一次函数的解析式为y=x+4．
解方程组

y=- 3 x y=x+4

，
得：

x=-1 y=3

，

x=-3 y=1

，
∴点B的坐标为（-3，1）．

（2）∵点A的坐标为（-1，3），点B的坐标为（-3，1），
∴结合图①可得：

当反比例函数的值大于一次函数的值时，x的取值范围为：x＜-3或-1＜x＜0．

（3）过点A作AN⊥x轴于N，点B作BM⊥x轴于M，如图②．

∵直线AO、BO、反比例函数y=-

3

x

的图象都是以原点为对称中心的中心对称图形，
∴OA=OD，OB=OE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴S_{四边形ABDE}=4S_△OAB．
∵S_△AOG=S_{四边形ABDE}，
∴S_△AOG=4S_△OAB．
∵点A的坐标为（-1，3），点B的坐标为（-3，1），
∴ON=1，AN=3，OM=3，BM=1，
∴S_△OAB=S_{四边形ABMO}-S_△BMO
=S_梯形ABMN+S_△ANO-S_△BMO
=

1

2

（BM+AN）•MN+

1

2

ON•AN-

1

2

OM•BM
=

1

2

×（1+3）×（3-1）+

1

2

×1×3-

1

2

×3×1
=4，
∴S_△AOG=4S_△OAB=16．
∵点G在x轴上，
∴S_△AOG=

1

2

OG•AN=

1

2

×3OG=

3

2

OG=16，
∴OG=

32

3

，
∴点G的坐标为（

32

3

，0）或（-

32

3

，0）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、中心对称图形的性质、平行四边形的判定与性质、解方程组等知识，运用数形结合是解决第（2）小题的关键，运用割补法是解决第（3）小题的关键．