Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+b（k≠0）与直线y＝kx（k≠0）平行，与直线y＝3相交于点A(3，3)．

（1）求k和b的关系式；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记直线l：y＝kx+b、y＝kx、y＝3与x轴构成的封闭区域（不含边界）为W．

①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有2个整点，直接写出k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）b＝3﹣3k；（2）①W区域内有2个整数点(1，1)，(2，2)，②1＜k≤2

【解析】

（1）根据题意列方程即可得到结论；

（2）①当k＝2时，得到b＝3﹣3k＝﹣3，求得直线l：y＝2x﹣3（k≠0）与直线y＝2x与x轴的交点为（，0），（0，0），与直线y＝3的交点为（3，3），（，3）于是得到结论；

②当直线y＝kx（k≠0）经过（2，2）时，此时求得直线的解析式为y＝x，得到直线l的解析式也为y＝x，此时区域W内没有整点，由①知，当区域W内恰有2个整点时，k＝2，于是得到结论．

解：（1）直线l：y＝kx+b（k≠0）与直线y＝3相交于点A（3，3），

∴3k+b＝3，

∴b＝3﹣3k；

（2）①当k＝2时，则b＝3﹣3k＝﹣3，

∴直线l：y＝2x﹣3（k≠0）与直线y＝2x平行，分别与x轴的交点为（，0），（0，0），

分别与直线y＝3的交点为（3，3），（，3），

在W区域内有2个整数点：（1，1），（2，2）；

②当直线y＝kx（k≠0）经过（2，2）时，此时，直线的解析式为y＝x，

∵直线l：y＝kx+b（k≠0）与直线y＝kx（k≠0）平行且经过点A（3，3）．

∴直线l的解析式也为y＝x，

此时区域W内没有整点，

由①知，当区域W内恰有2个整点时，k＝2，

综上所述，若区域W内恰有2个整点，k的取值范围为：1＜k≤2．