Question

【题目】如图1，抛物线L：y=ax2+2（a﹣1）x﹣4（常数a＞0）经过点A（﹣2，0）和点B（0，﹣4），与x轴的正半轴交于点E，过点B作BC⊥y轴，交L于点C，以OB，BC为边作矩形OBCD．

（1）当x=2时，L取得最低点，求L的解析式．
（2）用含a的代数式分别表示点C和点E的坐标；
（3）当S矩形OBCD=4时，求a的值．
（4）如图2，作射线AB，OC，当AB∥OC时，将矩形OBCD从点O沿射线OC方向平移，平移后对应的矩形记作O′B′C′D′，直接写出点A到直线BD′的最大距离．

Answer 1

【答案】
（1）

解：抛物线L的对称轴是x=﹣ ，∴x= ﹣1，

∵当x=2时，L取得最低点，则 ﹣1=2，

∴a= ，

∴L的解析式为：y= x2﹣ x﹣4

（2）

解：∵在L上，且BC⊥y轴，B（0，﹣4），

∴设点C坐标为C（m，﹣4）（其中m≠0），代入L，

﹣4=am2+2（a﹣1）m﹣4，解得，m= ﹣2，

∴点C的坐标是（ ﹣2，﹣4），

∵点A与点E关于L的对称轴x= ﹣1对称，A（﹣2，0），

设点E的坐标是（n，0）（其中n＞0），

∴ ﹣1﹣（﹣2）=n﹣（ ﹣1），解得 n= ，

∴点E的坐标是（ ，0）

（3）

解：∵S矩形OBCD=4| ﹣2|=4，

∴| ﹣2|=1，

当矩形OBCD在y轴右侧时，0＜a＜1，有 ﹣2=1，解得a= ；

当矩形OBCD在y轴左侧时，a＞1，有 ﹣2=﹣1，解得a=2

（4）

解：由图象可知，当AB⊥BD′时，点A到直线BD′的距离最大，最大距离为AB= = =2 ．

【解析】（1）利用顶点坐标公式，列出方程即可解决问题．（2）由BC⊥y轴，B（0，﹣4），设点C坐标为C（m，﹣4）（其中m≠0），代入L，得﹣4=am2+2（a﹣1）m﹣4，解得，m= ﹣2，可得点C坐标，因为点A与点E关于L的对称轴x= ﹣1对称，A（﹣2，0），设点E的坐标是（n，0）（其中n＞0），可得 ﹣1﹣（﹣2）=n﹣（ ﹣1），解得 n= ，由此即可求出点E坐标．（3）由题意S矩形OBCD=4| ﹣2|=4，可得| ﹣2|=1，分两种情形①当矩形OBCD在y轴右侧时．②当矩形OBCD在y轴左侧时．分别求解即可．（4）由图象可知，当AB⊥BD′时，点A到直线BD′的距离最大．