Question

【题目】如图，已知l1⊥l2 ， ⊙O与l1 ， l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1 ， l2重合，AB=4 cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）

（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为°；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1 ， A1 ， C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；
（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．

Answer 1

【答案】
（1）105
（2）解：

如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，

连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，

在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4 ，

∴tan∠C1A1D1= ，∴∠C1A1D1=60°，

在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，

∴A1E= = ，

∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，

∴t﹣2= ，

∴t= +2，

∴OO1=3t=2 +6

（3）解：

①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，

如图位置一，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，

设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，

∴O2F⊥l1，O2G⊥A2C2，

由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，

∴∠O2A2F=60°，

在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F= ，

∵OO2=3t1，AF=AA2+A2F=4t1+ ，

∴4t1+ ﹣3t1=2，

∴t1=2﹣ ，

②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，

记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，

由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，

∴ +2﹣（2﹣ ）=t2﹣（ +2），

解得：t2=2+2 ，

综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣ ＜t＜2+2

【解析】解：（1）∵l1⊥l2 ， ⊙O与l1 ， l2都相切， ∴∠OAD=45°，
∵AB=4 cm，AD=4cm，
∴CD=4 cm，
∴tan∠DAC= = = ，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，
故答案为：105；
（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，求出t的值，进而得出OO1=3t得出答案即可；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1 ， ②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2 ， 分别求出即可．