Question

如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A₁位置时，则点A经过的路线长为　　　　　　．

Answer 1

　6π　．

 

【考点】弧长的计算；矩形的性质；旋转的性质．

【专题】压轴题；规律型．

【分析】如图根据旋转的性质知，点A经过的路线长是三段：①以90°为圆心角，AD长为半径的扇形的弧长；②以90°为圆心角，AB长为半径的扇形的弧长；③90°为圆心角，矩形ABCD对角线长为半径的扇形的弧长．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，

∴BC=AD=3，∠ADC=90°，对角线AC（BD）=5．

∵根据旋转的性质知，∠ADA′=90°，AD=A′D=BC=3，

∴点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A′经过的路线长为： =．

同理，点A′第一次翻滚到点A″位置时，则点A′经过的路线长为： =2π．

点A″第一次翻滚到点A₁位置时，则点A″经过的路线长为： =．

则当点A第一次翻滚到点A₁位置时，则点A经过的路线长为： +2π+=6π．

故答案是：6π．

【点评】本题考查了弧长的计算、矩形的性质以及旋转的性质．根据题意画出点A运动轨迹，是突破解题难点的关键．