Question

17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，BF⊥DE于点F
（1）求证：BD平分∠ABF；
（2）求证：△BDF∽△DAE；
（3）求证：AB=BF+AE．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到BD=CD，∠ABC=∠C，根据垂直的定义得到∠F=∠CED=90°，推出△BDF≌△CDE，根据全等三角形的性质得到∠DBF=∠C，等量代换得到∠ABC=∠DBF，即可得到结论；
（2）根据余角的性质得到∠ADE=∠C，等量代换得到∠ADE=∠DBF，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到BF=CE，根据线段的和差即可得到结论．

解答 证明：（1）∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD，∠ABC=∠C，
∵DE⊥AC于点E，BF⊥DE于点F，
∴∠F=∠CED=90°，
在△BDF与△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠CED}\\{∠BDF=∠CDE}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDE，
∴∠DBF=∠C，
∴∠ABC=∠DBF，
∴BD平分∠ABF；
（2）∵∠ADE+∠CAD=∠C+∠CAD=90°，
∴∠ADE=∠C，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠F=∠AED=90°，
∴△BDF∽△DAE；
（3）∵△BDF≌△CDE，
∴BF=CE，
∵AC=AE+EC=AE+BF，
∴AB=BF+AE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．