【题目】已知:关于x的二次函数y=x2+bx+c经过点(﹣1,0)和(2,6).
(1)求b和c的值.
(2)若点A(n,y1),B(n+1,y2),C(n+2,y3)都在这个二次函数的图象上,问是否存在整数n,使 +
+
=
?若存在,请求出n;若不存在,请说明理由.
(3)若点P是二次函数图象在y轴左侧部分上的一个动点,将直线y=﹣2x沿y轴向下平移,分别交x轴、y轴于C、D两点,若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似,请求出所有符合条件点P的坐标.
【答案】
(1)解:把(﹣1,0)和(2,6)代入y=x2+bx+c中,
得 解得
,
∴b=1,c=0.
(2)解:由题意y1=n2+n,y2=(n+1)2+(n+1),y3=(n+2)2+(n+2),
∵ +
+
=
,
∴ +
+
=
,
∴ ﹣
+
﹣
+
﹣
=
,
∴ ﹣
=
,
整理得n2+3n﹣10=0,
解得n=2或﹣5.
经过检验n=2和﹣5是分式方程的解.
(3)解:当D为直角顶点时,由图象可知不存在点P,使得△PCD为直角三角形,当C为直角顶点,CD为直角边时,作PE⊥OC于E.
设直线y=﹣2x向下平移m个单位,则直线CD解析式为y=﹣2x﹣m,
∴点D坐标(0,﹣m),点C坐标(﹣ ,0),
∴OD=m,OC= ,
∴OD=20C,
∵△PCD与△OCD相似,
∴CD=2PC或PC=2CD,
①当CD=2PC时,
∵∠PCD=90°,
∴∠PCE+∠DCO=90°,∠DCO+∠CDO=90°,
∴∠PCE=∠CDO,
∵∠PEC=∠COD=90°,
∴△COD∽△PEC,
∴ =
=
=2,
∴EC= ,PE=
,
∴点P坐标(﹣m,﹣ ),代入y=x2+x,
得﹣ =m2﹣m,解得m=
或(0舍弃)
∴点P坐标(﹣ ,﹣
).
②PC=2CD时,由 =
=
=
,
∴EC=2m,PE=m,
∴点P坐标(﹣ m,﹣m),代入y=x2+x,
得﹣m= m2﹣
m,
解得m= 和(0舍弃),
∴点P坐标(﹣ ,﹣
).
【解析】(1)利用待定系数法求得抛物线的解析式即可得;
(2)直接把A、B、C三点的坐标代入(1)中所求得解析式可得y1,y2,y3的值,再代入所给的得y1,y2,y3之间的关系式化简解方程可得;
(3)分D、C分别为直角顶点来讨论求解.注意C为直角顶点存在两种情况:CD=2PC和PC=2CD.
【考点精析】解答此题的关键在于理解去分母法的相关知识,掌握先约后乘公分母,整式方程转化出.特殊情况可换元,去掉分母是出路.求得解后要验根,原留增舍别含糊,以及对二次函数图象的平移的理解,了解平移步骤:(1)配方 y=a(x-h)2+k,确定顶点(h,k)(2)对x轴左加右减;对y轴上加下减.
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【题目】已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a>0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴正半轴相交于点C,过点A作AD⊥x轴,垂足为D.
(1)若∠AOB=60°,AB∥x轴,AB=2,求a的值;
(2)若∠AOB=90°,点A的横坐标为﹣4,AC=4BC,求点B的坐标;
(3)延长AD、BO相交于点E,求证:DE=CO.
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【题目】如图是用火柴棍摆成边长分别是1、2、3根火柴棍时的正方形,当边长为n根火柴棍时,若摆出的正方形所用的火柴棍的根数为S,则S= (用含n的代数式表示,n为正整数).
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y1= 的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1,3)和B(﹣3,m).
(1)求反比例函数y1= 和一次函数y2=ax+b的表达式;
(2)点C 是坐标平面内一点,BC∥x 轴,AD⊥BC 交直线BC 于点D,连接AC.若AC= CD,求点C的坐标.
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【题目】目前,我市城市居民用电收费方式有以下两种:
普通电价付费方式:全天0. 52元/度;
峰谷电价付费方式:峰时(早8:00~晚21:00)0. 65元/度;谷时(晚21:00~早8:00)0. 40元/度.
(1)小丽老师家10月份总用电量为280度.
①若其中峰时电量为80度,则小丽老师家按照哪种方式付电费比较合适?能省多少元?
②若小丽老师交费137元,那么,小丽老师家峰时电量为多少度?
(2)到11月份付费时,小丽老师发现11月份总用电量为320度,用峰谷电价付费方式比普通电价付费方式省了18. 4元,那么,11月份小丽老师家峰时电量为多少度?
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【题目】将长为40 cm、宽为15 cm的长方形白纸,按如图所示的方法黏合起来,黏合部分宽为5 cm.
…
(1)根据上图,将表格补充完整:
白纸张数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
纸条长度 | 40 | 110 | 145 | … |
(2)设x张白纸黏合后的总长度为y cm,则y与x之间的关系式是什么?
(3)你认为多少张白纸黏合起来总长度可能为2 018 cm吗?为什么?
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【题目】满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是( )
A. b2=a2﹣c2 B. a:b:c=3:4:5
C. ∠C=∠A﹣∠B D. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
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【题目】如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于( ).
A. 2 cm B. 4 cm C. 3 cm D. 5 cm
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