Question

【题目】已知：关于x的二次函数y=x2+bx+c经过点（﹣1，0）和（2，6）．
（1）求b和c的值．
（2）若点A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，问是否存在整数n，使 + + = ？若存在，请求出n；若不存在，请说明理由．
（3）若点P是二次函数图象在y轴左侧部分上的一个动点，将直线y=﹣2x沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于C、D两点，若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，请求出所有符合条件点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：把（﹣1，0）和（2，6）代入y=x2+bx+c中，

得 解得 ，

∴b=1，c=0．

（2）解：由题意y1=n2+n，y2=（n+1）2+（n+1），y3=（n+2）2+（n+2），

∵ + + = ，

∴ + + = ，

∴ ﹣ + ﹣ + ﹣ = ，

∴ ﹣ = ，

整理得n2+3n﹣10=0，

解得n=2或﹣5．

经过检验n=2和﹣5是分式方程的解．

（3）解：当D为直角顶点时，由图象可知不存在点P，使得△PCD为直角三角形，当C为直角顶点，CD为直角边时，作PE⊥OC于E．

设直线y=﹣2x向下平移m个单位，则直线CD解析式为y=﹣2x﹣m，

∴点D坐标（0，﹣m），点C坐标（﹣ ，0），

∴OD=m，OC= ，

∴OD=20C，

∵△PCD与△OCD相似，

∴CD=2PC或PC=2CD，

①当CD=2PC时，

∵∠PCD=90°，

∴∠PCE+∠DCO=90°，∠DCO+∠CDO=90°，

∴∠PCE=∠CDO，

∵∠PEC=∠COD=90°，

∴△COD∽△PEC，

∴ = = =2，

∴EC= ，PE= ，

∴点P坐标（﹣m，﹣ ），代入y=x2+x，

得﹣ =m2﹣m，解得m= 或（0舍弃）

∴点P坐标（﹣ ，﹣ ）．

②PC=2CD时，由 = = = ，

∴EC=2m，PE=m，

∴点P坐标（﹣ m，﹣m），代入y=x2+x，

得﹣m= m2﹣ m，

解得m= 和（0舍弃），

∴点P坐标（﹣ ，﹣ ）．

【解析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式即可得；
（2）直接把A、B、C三点的坐标代入（1）中所求得解析式可得y1，y2，y3的值，再代入所给的得y1，y2，y3之间的关系式化简解方程可得；
（3）分D、C分别为直角顶点来讨论求解.注意C为直角顶点存在两种情况：CD=2PC和PC=2CD.
【考点精析】解答此题的关键在于理解去分母法的相关知识，掌握先约后乘公分母，整式方程转化出．特殊情况可换元，去掉分母是出路．求得解后要验根，原留增舍别含糊，以及对二次函数图象的平移的理解，了解平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减．