Question

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若AC=8，BC=6，求线段BE的长．

Answer 1

考点：切线的性质,等腰三角形的判定

专题：证明题

分析：（1）根据切线的性质得OC⊥AD，而AD⊥DP，则肯定判断OC∥AD，根据平行线的性质得∠DAC=∠OCA，加上∠OAC=∠OCA，所以∠OAC=∠DAC；
（2）根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，则∠BCE=45°，再利用圆周角定理得∠BOE=2∠BCE=90°，则∠OFE+∠OEF=90°，易得∠CFP+∠OEF=90°，再根据切线的性质得到∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，根据等角的余角相等得到∠PCF=∠CFP，于是可判断△PCF是等腰三角形；
（3）先在Rt△ACB中，根据勾股定理计算出AB=10，则OB=5，由（2）得到△BOE为等腰直角三角形，所以BE=

2

OB=5

2

．

解答：（1）证明：∵PD为⊙O的切线，
∴OC⊥DP，
∵AD⊥DP，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠DAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=45°，
∴∠BOE=2∠BCE=90°，
∴∠OFE+∠OEF=90°，
而∠OFE=∠CFP，
∴∠CFP+∠OEF=90°，
∵OC⊥AD，
∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，
而∠OCF=∠OEF，
∴∠PCF=∠CFP，
∴△PCF是等腰三角形；
（3）解：在Rt△ACB中，
∵AC=8，BC=6，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∴OB=5，
∵∠BOE=90°，
∴△BOE为等腰直角三角形，
∴BE=

2

OB=5

2

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．