Question

11．已知两直线y₁=kx+k-1，y₂=（k+1）x+k（k是正整数），设两条直线与x轴围成三角形的面积为S_k，则S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₄=（　　）

• A． $\frac{2013}{2014}$
• B． $\frac{2014}{2015}$
• C． $\frac{2014}{2013}$
• D． $\frac{1007}{2015}$

Answer 1

分析 先根据x轴上点的坐标特征求出直线y₁=kx+k-1与x轴的交点坐标为（-$\frac{k-1}{k}$，0）；直线y₂=（k+1）x+k与x轴的交点坐标为（-$\frac{k}{k+1}$，0），再解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=kx+k-1}\\{{y}_{2}=（k+1）x+k}\end{array}\right.$得直线y₁=kx+k-1与直线y₂=（k+1）x+k（k是正整数）的交点坐标为（-1，-1），根据三角形面积公式得到S_k=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$），然后分别计算S₁、S₂、S₃、S₂₀₁₄，再把它们相加即可．

解答 解：当y=0时，kx+k-1=0，解得x=-$\frac{k-1}{k}$，则直线y₁=kx+k-1与x轴的交点坐标为（-$\frac{k-1}{k}$，0）；
当y=0时，（k+1）x+k=0，解得x=-$\frac{k}{k+1}$，则直线y₂=（k+1）x+k与x轴的交点坐标为（-$\frac{k}{k+1}$，0）；
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=kx+k-1}\\{{y}_{2}=（k+1）x+k}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，则直线y₁=kx+k-1与直线y₂=（k+1）x+k（k是正整数）的交点坐标为（-1，-1），所以两条直线与x轴围成三角形的面积为S_k=$\frac{1}{2}$•1•|-$\frac{k-1}{k}$+$\frac{k}{k+1}$|=$\frac{1}{2}$•|$\frac{1}{k（k+1）}$|=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{k（k+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$），
当k=1时，S₁=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$），
当k=2时，S₂=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$），
当k=3时，S₂=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$），
…
当k=2014时，S₂=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$），
所以S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₄=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2015}$）=$\frac{1007}{2015}$．
故选D．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．从特殊到一般是解决规律型问题的一般方法．