Question

9．已知3x²+2x-9=0的两根是x₁，x₂，
求：（1）$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$；（2）${x}_{1}^{2}{+x}_{2}^{2}$．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得出x₁+x₂=-$\frac{2}{3}$，x₁x₂=-3，再把要求的式子进行整理，得出$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$和${x}_{1}^{2}{+x}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，然后代值计算即可．

解答 解：∵x₁，x₂一元二次方程3x²+2x-9=0两个根，
∴x₁+x₂=-$\frac{2}{3}$，x₁x₂=-3；
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$=$\frac{-\frac{2}{3}}{-3}$=$\frac{2}{9}$；
（2）${x}_{1}^{2}{+x}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-$\frac{2}{3}$）²-2×（-3）=6$\frac{4}{9}$．

点评 此题考查了根与系数的关系，关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．