Question

【题目】如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接CD，DE.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若BD＝4，CD＝3，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】(1)、连接OD，根据题意得出∠BDC和∠ADC为直角，根据直角三角形的性质得出∠EDC=∠ECD，根据等腰三角形的性质∠ODC=∠OCD，根据AC为切线得出答案；(2)、根据勾股定理得出BC的长度，根据△BCD和△ABC相似得出AC的长度．

(1)连接OD.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°.

∵E为AC的中点，∴DE＝EC＝AC，∴∠EDC＝∠ECD.

∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC.

∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝90°，∴DE⊥OD.∴DE是⊙O的切线；

(2)在Rt△BCD中，∵BD＝4，CD＝3，∴BC＝＝5.

∵∠BDC＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B.∴△BCD∽△BAC，∴＝，

即＝，∴AC＝.