【题目】综合题
如图1,为直线
上一点,过点
作射线
,
,将一直角三角板(
)的直角顶点放在点
处,一边
在射线
上,另一边
与
都在直线
的上方.
(1)将图1中的三角板绕点以每秒
的速度沿顺时针方向旋转一周,如图2,经过
秒后,
恰好平分
.
①此时的值为______;(直接填空)
②此时是否平分
?请说明理由.
(2)在(1)问的基础上,若三角板在转动的同时,射线也绕
点以每秒
的速度沿顺时针方向旋转一周,如图3,那么经过多长时间
平分
?请说明理由;
(3)在(2)问的基础上,经过多长时间平分
?
【答案】(1)①3;②是,理由见解析;(2)经过5秒或69秒时,平分
;(3)经过
秒时,
平分
.
【解析】
(1)①先求出时的
的度数,再求出当
恰好平分
时
,最后根据旋转的角度等于前后两次所求
度数的差列出方程即得.
②在①中求出的的条件下,求出此时的
的度数即可.
(2)先根据平分
可将
旋转度数与三角板旋转度数之差分为
、
和
三种情况, 然后以
平分
为等量关系列出方程即得.
(3)先根据旋转速度与三角板旋转速度判断
平分
应该在两者旋转过
之后,然后用
分别表示出
与
的度数,最后依据
平分
为等量关系列出方程即可.
(1)①当时
∵,
∴
当直角三角板绕点旋转
秒后
∴
∵,
∴
∵恰好平分
∴
∴
∴.
②是,理由如下:
∵转动3秒,∴,
∴,
∴,即
平分
.
(2)直角三角板绕点旋转一周所需的时间为
(秒),射线
绕
点旋转一周所需的时间为
(秒),
设经过秒时,
平分
,
由题意:①,
解得:,
②,
解得:,不合题意,
③∵射线绕
点旋转一周所需的时间为
(秒),45秒后停止运动,
∴旋转
时,
平分
,
∴(秒),
综上所述,秒或69秒时,
平分
.
(3)由题意可知,旋转到与
重合时,需要
(秒),
旋转到与
重合时,需要
(秒),
所以比
早与
重合,
设经过秒时,
平分
.
由题意:,
解得:,
所以经过秒时,
平分
.
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【题目】如图,已知BC是⊙O的直径,AC切⊙O于点C,AB交⊙O于点D,E为AC的中点,连接CD,DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若BD=4,CD=3,求AC的长.
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【题目】如图,AC是正方形ABCD的对角线,点O是AC的中点,点Q是AB上一点,连接CQ,DP⊥CQ于点E,交BC于点P,连接OP,OQ;
求证:(1)△BCQ≌△CDP;(2)OP=OQ.
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【题目】某地休闲广场落成,吸引了很多人前往锻炼游玩,某校数学小组统计了“五一”期间在广场休闲的人员分布情况,统计图如下:
(1)求统计的这段时间内到广场休闲的总人数及老人人数.
(2)求休闲人员扇形统计图中“其他”人员项目所对应扇形的圆心角度数,并将条形统计图补充完整.
(3)根据以上数据,能否估计一年中(以365天计)到该广场休闲的人数?为什么?
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【题目】如图,将矩形ABCD(AB<AD)沿BD折叠后,点C落在点E处,且BE交AD于点F,若AB=4,BC=8.
(1)求DF的长;
(2)求△DBF和△DEF的面积;
(3)求△DBF中F点到BD边上的距离.
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【题目】如图,正方形中,
是
的中点,点
从
点出发,以
秒的速度沿折线
匀速运动,到
点停止运动,设
的面积为
,点
运动时间为
秒.
(1)点运动到点
,
= .点
运动到点
,
= .
(2)请你用含的式子表示y.
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【题目】某商场投入13 800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱,矿泉水的成本价和销售价如表所示:
类别/单价 | 成本价 | 销售价(元/箱) |
甲 | 24 | 36 |
乙 | 33 | 48 |
(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱?
(2)全部售完500箱矿泉水,该商场共获得利润多少元?
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【题目】为了美化环境,建设宜居成都,我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉.经市场调查,甲种花卉的种植费用(元)与种植面积
之间的函数关系如图所示,乙种花卉的种植费用为每平方米100元.
(1)直接写出当和
时,
与
的函数关系式;
(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共,若甲种花卉的种植面积不少于
,且不超过乙种花卉种植面积的2倍,那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少?最少总费用为多少元?
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