Question

OAB是圆心角为60°的扇形，圆O′内切于扇形OAB，且圆O′的面积为16π，若用这个扇形做成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的高及表面积．

Answer 1

考点：圆锥的计算

专题：计算题

分析：连结OO′交弧AB于C，作O′D⊥OB，如图，扇形OAB的半径为R，圆O′的半径为r，根据圆的面积公式可计算出r=4，再利用两圆相切和切线的性质得OC=R，O′D=O′C=4，在Rt△OO′D中，计算出OO′=2O′D=8，则OC=12，设圆锥的底面圆的半径为a，根据弧长公式得到2πa=

60•π•12

180

，解得a=2，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高；根据扇形的面积公式计算这个圆锥的表面积．

解答：解：连结OO′交弧AB于C，作O′D⊥OB，如图，扇形OAB的半径为R，圆O′的半径为r，
∵圆O′的面积为16π
∴πr²=16π，解得r=4，
∵圆O′内切于扇形OAB，
∴OC=R，O′D=O′C=4，
∵∠AOB=60°，
∴∠O′OD=30°，
在Rt△OO′D中，OO′=2O′D=8，
∴OC=8+4=12，
设圆锥的底面圆的半径为a，
2πa=

60•π•12

180

，解得a=2，
∴这个圆锥的高=

122-22

=2

35

，
这个圆锥的表面积=π•2²+

1

2

•2π•2•12=28π．

点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了勾股定理和两圆相切的性质．