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【题目】如图,抛物线yax2+bx+6经过点A(﹣20),B40),与y轴交于点C.点D是抛物线上的一个动点,点D的横坐标为m1m4),连接ACBCDBDC

1)求抛物线的解析式.

2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的时,求m的值.

3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得△QAC的周长最小,若存在,求出点Q的坐标.

【答案】(1);(2)m3;(3)点Q的坐标为(1).

【解析】

1)由AB两点坐标可得抛物线两点式解析式,进而可求出a值,即可得答案;(2)设直线BC的表达式为y=kx+b,根据抛物线的解析式可得C点坐标,利用待定系数法可得直线BC的解析式,设点Dm),过点Dy轴的平行线交直线BC与点H,可得点Hm),根据三角形面积公式列方程求出m的值即可;(3)根据二次函数的对称性可得抛物线的轴对称与BC的交点即为点Q,根据二次函数解析式可得对称轴方程,把对称轴方程代入BC解析式即可求出Q点纵坐标,即可得答案.

1)∵抛物线yax2+bx+6经过点A(﹣20),B40),

∴抛物线解析式为:yax+2)(x4)=ax22x8)=ax22ax8a

∴﹣8a6

解得:

故抛物线的表达式为:

2)设直线BC的表达式为y=kx+b

∵抛物线与y轴交于点C

∴点C06),

将点BC的坐标代入一次函数表达式得:

解得:

∴直线BC的表达式为:

如图1,过点Dy轴的平行线交直线BC与点H

设点Dm),则点Hm

SBDCHD×OB2)=2),

SACO××6×2

2(﹣m2+3m)=

解得:m3m=1(舍去),

m3

3)如图2,在抛物线的对称轴上存在一点Q,使得△QAC的周长最小,连接BC

AB两点关于对称轴对称,

QA=QB

QA+QC=QC+QB

BCQA+QC的最小值,即△QAC的周长最小.

∴抛物线的轴对称与BC的交点即为点Q

∵抛物线的轴对称为x1

∴把x1代入直线BC的表达式

∴点Q的坐标为(1).

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