Question

【题目】如图所示，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴的交点为点A(3，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，连接AC.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大?若存在，求出点D的坐标及△ACD面积的最大值，若不存在，请说明理由.

（3）在抛物线上是否存在点E，使得△ACE是以AC为直角边的直角三角形如果存在，请直接写出点E的坐标即可；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）抛物线上存在点D，使得△ACD的面积最大，此时点D的坐标为( ， )且△ACD面积的最大值 ；（3）在抛物线上存在点E，使得△ACE是以AC为直角边的直角三角形

点E的坐标是(1，4)或(-2，-5).

【解析】

(1)因为点A(3，0)，点C(0,3)在抛物线y=x2+bx+c上，可代入确定b、c的值；

(2)过点D作DH⊥x轴，设D(t，-t2+2t+3)，先利用图象上点的特征表示出S△ACD=S梯形OCDH+S△AHD-S△AOC=，再利用顶点坐标求最值即可；

(3)分两种情况讨论：①过点A作AE1⊥AC，交抛物线于点E1，交y轴于点F，连接E1C，求出点F的坐标，再求直线AE的解析式为y＝x3，再与二次函数的解析式联立方程组求解即可；②过点C作CE⊥CA，交抛物线于点E2、交x轴于点M，连接AE2，求出直线CM的解析式为y＝x＋3，再与二次函数的解析式联立方程组求解即可.

（1）解：∵二次函数y=-x2+bx+c与x轴的交点为点A(3，0)与y轴交于点C(0，3)

∴

解之得

∴这个二次函数的解析式为y=-x2+2x+3

（2）解：如图，设D(t，-t2+2t+3)，过点D作DH⊥x轴，垂足为H，

则S△ACD=S梯形OCDH+S△AHD-S△AOC

= (-t2+2t+3+3)+ (3-t)(-t2+2t+3)- ×3×3

=

=

∵ <0

∴当t= 时，△ACD的面积有最大值

此时-t2+2t+3=

∴抛物线上存在点D，使得△ACD的面积最大，此时点D的坐标为( ， )且△ACD面积的最大值

（3）在抛物线上存在点E，使得△ACE是以AC为直角边的直角三角形

点E的坐标是(1，4)或(-2，-5).

理由如下：有两种情况：

①如图，

过点A作AE1⊥AC，交抛物线于点E1、交y轴于点F，连接E1C．

∵CO＝AO＝3，

∴∠CAO＝45°，

∴∠FAO＝45°，AO＝OF＝3．

∴点F的坐标为（0，3）．

设直线AE的解析式为y＝kx＋b，

将（0，3），（3，0）代入y＝kx＋b得：

解得

∴直线AE的解析式为y＝x3，

由

解得或

∴点E1的坐标为（2，5）．

②如图，

过点C作CE⊥CA，交抛物线于点E2、交x轴于点M，连接AE2 ．

∵∠CAO＝45°，

∴∠CMA＝45°，OM＝OC＝3．

∴点M的坐标为（3，0）,

设直线CM的解析式为y＝kx＋b，

将（0，3），（-3，0）代入y＝kx＋b得：

解得

∴直线CM的解析式为y＝x＋3．

由

解得：或

∴点E2的坐标为（1，4）．

综上，在抛物线上存在点E1（2，5）、E2（1，4），使△ACE1、△ACE2是以AC为直角边的直角三角形．