Question

【题目】在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．

（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；

（2）如图2，当AD＝25，且AE＜DE时，求的值；

（3）如图3，当BEEF＝108时，求BP的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）9．

【解析】

（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC，再判断出AE=DE，即可得出结论；

（2）利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB，得出BP=BF，证明∽，得出比例式建立方程求解即可得出，再判断出，进而求出PB，即可得出结论；

（3）判断出，得出，即可得出结论．

解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，

∵E是AD中点，

∴AE＝DE，

在△AEB和△DEC中，

，

∴△AEB≌△DEC（SAS）；

（2）在矩形ABCD，∠ABC＝90°，

∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，

∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，

∵BE⊥CG，

∴BE∥PG，

∴∠GPF＝∠PFB，

∴∠BPF＝∠BFP，

∴BP＝BF；

∵∠BEC＝90°，

∴∠AEB+∠CED＝90°，

∵∠AEB+∠ABE＝90°，

∴∠CED＝∠ABE，

∵∠A＝∠D＝90°，

∴△ABE∽△DEC，

∴，

设AE＝x，

∴DE＝25﹣x，

∴，

∴x＝9或x＝16，

∵AE＜DE，

∴AE＝9，DE＝16，

∴CE＝20，BE＝15，

由折叠得，BP＝PG，

∴BP＝BF＝PG，

∵BE∥PG，

∴△ECF∽△GCP，

∴，

设BP＝BF＝PG＝y，

∴，

∴y＝，

∴BP＝，

∴EF＝BE﹣BF＝15﹣，

∴．

（3）如图，连接FG，

∵∠GEF＝∠PGC＝90°，

∴∠GEF+∠PGC＝180°，

∴BF∥PG

∵BF＝PG，

∴BPGF是菱形，

∴BP∥GF，

∴∠GFE＝∠ABE，

∴△GEF∽△EAB，

∴，

∴BEEF＝ABGF，

∵BEEF＝108，AB＝12，

∴GF＝9，

∴BP＝GF＝9．