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【题目】如图,在ACE中,CACE,∠CAE30°,⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当AB4时,则CD+OD的最小值是______

【答案】

【解析】

OF平分∠AOC,交⊙OF,连接AFCFDF,易证四边形AOCF是菱形,根据对称性可得DF=DO.过点DDHOCH,易得DH=DC,从而有CD+OD=DH+FD.根据两点之间线段最短可得:当FDH三点共线时,DH+FD(即CD+OD)最小,然后在RtOHF中运用三角函数即可解决问题.

解:作OF平分∠AOC,交⊙OF,连接AFCFDF,如图所示,


OA=OC,∴∠OCA=OAC=30°,∴∠COB=60°,

则∠AOF=COF=AOC=180°-60°)=60°.
OA=OF=OC
∴△AOF、△COF是等边三角形,
AF=AO=OC=FC
∴四边形AOCF是菱形,
∴根据对称性可得DF=DO
过点DDHOCH

DH=DCsinDCH=DCsin30°=DC
CD+OD=DH+FD
根据两点之间线段最短可得,
FDH三点共线时,DH+FD(即CD+OD)最小,
OF=OA=AB=2
∴此时FH=DH+FD=OFsinFOH=×2=
CD+OD的最小值为

故答案为:

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【题目】近些年来,校园安全受到全社会的广泛关注,为了了解学生对于安全知识的了解程度,学校采用随机抽样的调查方式,根据收集到的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:

1)接受问卷调查的学生共有________人.

2)请补全条形统计图;

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【题目】ABC中,∠ABC=90°.

(1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:ABM∽△BCN;

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1)如图1,求证:

2)如图2,当时,连接.,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的.

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【题目】如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a(a<0)的图象与x轴交于A、B两点(AB的左侧),与y的正半轴交于点C,连结BC,二次函数的对称轴与x轴的交点为E.

(1)抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____,点A的坐标为_____

(2)若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切,试求出抛物线的解析式;

(3)在(2)的条件下,如图②Q(m,0)是x的正半轴上一点,过点Qy轴的平行线,与直线BC交于点M,与抛物线交于点N,连结CN,将CMN沿CN翻折,M的对应点为M′.在图②中探究:是否存在点Q,使得M′恰好落在y轴上?若存在,请求出Q的坐标;若不存在,请说明理由.

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【题目】为响应市政府关于“垃圾不落地市区更美丽”的主题宣传活动,某校随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况.调查选项分为“A:非常了解,B:比较了解,C:了解较少,D:不了解”四种,并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息,解答下列问题:

1)把两幅统计图补充完整;

2)若该校学生有2000名,根据调查结果,估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有    名;

3)已知“非常了解”的同学有3名男生和1名女生,从中随机抽取2名进行垃圾分类的知识交流,请用画树状图或列表的方法,求恰好抽到一男一女的概率.

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1)如图1,若点EAD的中点,求证:△AEB≌△DEC

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3)如图3,当BEEF108时,求BP的值.

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1)如图②,在△ABC中.∠B60°,∠C45°.求证:△ABC弱等腰三角形

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