Question

【题目】若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“弱线”，如图①，AD是△ABC的角平分线，当AD＝AB时，则△ABC是“弱等腰三角形”，线段AD是△ABC的“弱线”．

（1）如图②，在△ABC中．∠B＝60°，∠C＝45°．求证：△ABC是“弱等腰三角形”；

（2）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以B为圆心在矩形内部作，交BC于点E，点F是上一点，连结CF．且CF与有另一个交点G．连结BG．当BG是△BCF的“弱线”时，求CG的长．

（3）已知△ABC是“弱等腰三角形”，AD是“弱线”，且AB＝3BD，求AC：BC的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2；（3）24：17

【解析】

（1）根据角平分线的定义得到∠DBC＝∠ABC＝30°，根据三角形的内角和得到∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，于是得到结论；

（2）如图③，连接EG，根据角平分线的定义得到∠FBG＝∠GBE，根据全等三角形的性质得到∠BGF＝∠BGE，根据相似三角形的性质即可得到结论；

（3）①如图④，当AB＝AD时，在AC上取一点E，使得AE＝AB，连接DE，根据角平分线的定义得到∠FBG＝∠GBE，根据全等三角形的性质得到∠BGF＝∠BGE，根据相似三角形的性质即可得到结论；②当AC＝AD时，如图⑤，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE，同理可得结论．

（1）证明：如图②作△ABC的角平分线BD，交AC于D，

∴∠DBC＝∠ABC＝30°，

∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，

∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，

∵∠ADB＝∠DBC+∠C＝30°+45°＝75°，

∴∠ADB＝∠A，

∴BA＝BD，

∴△ABC是“弱等腰三角形”；

（2）如图③，连接EG，

∵BG是△BCF的“弱线”，

∴BG平分∠FBC，

∴∠FBG＝∠GBE，

∵BF＝BE，BG＝BG，

∴△BGF≌△BGE（SAS），

∴∠BGF＝∠BGE，

∵BG＝BE，

∴∠BGE＝∠BEG＝（180°﹣∠GBE），

∴∠FGE＝180°﹣∠GBE，

∵∠CGE＝180°﹣∠FGE，

∴∠CGE＝∠CBG，

∵∠GCE＝∠BCG，

∴△GCE∽△BCG，

∴＝，

∵CE＝4﹣3＝1，

∴CG2＝CEBC＝1×4＝4，

∴CG＝2；

（3）①如图④，当AB＝AD时，在AC上取一点E，使得AE＝AB，连接DE，

∵AD是“弱线”，

∴AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AD＝AD，

∴△ABD≌△AED（SAS），

∴DE＝BD，∠B＝∠AED，

∵AD＝AB，

∴∠B＝∠ADB，

∴∠AED＝∠ADB，

∴∠CED＝180°﹣∠AED，∠ADC＝180°﹣∠ADB，

∴∠CED＝∠ADC，

∵∠C＝∠C，

∴△ADC∽△DEC，

∴＝，

∴CE＝CD，CD＝AC，

∴CE＝AC，

∴CE＝AE＝BD，CD＝3CE＝BD，

AC＝9CE＝BD，

∴BC＝BD+BD＝BD，

∴AC：BC＝27：17；

②当AC＝AD时，如图⑤，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE，

同理可得， ＝＝，即＝，由上面计算可得，BC＝CD，

∵AC＝3CD，

∴AC：BC＝24：17．