Question

【题目】如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．

探究：线段与的数量关系并加以证明；

当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？

当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．

Answer 1

【答案】（1），理由见解析；（2）满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形；（3）不可能，理由见解析.

【解析】

（1）探究问题，也就是证明问题，可以先假设，题中OE，OF可通过平行线，角平分线确定二者之间的关系．
（2）正方形的判定问题，AECF若是正方形，则必有对角线OA=OC，所以O为AC的中点，同样在△ABC中，当∠ACB=90°时，可满足其为正方形．
（3）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直．

解：．理由如下：

∵是的角平分线，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∵是的外角平分线，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形．

∵当点运动到的中点时，，

又∵，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴，

∴，即，

∴四边形是矩形．

已知，当，则

，

∴，

∴四边形是正方形．

解：不可能．

如图所示，

∵平分，平分，

∴，

若四边形是菱形，则，

但在中，不可能存在两个角为，所以不存在其为菱形．