【题目】如图,AB,CD是圆O的直径,AE是圆O的弦,且AE∥CD,过点C的圆O切线与EA的延长线交于点P,连接AC.
(1)求证:AC平分∠BAP;
(2)求证:PC2=PAPE;
(3)若AE-AP=PC=4,求圆O的半径.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)5.
【解析】
(1)OA=OC,则∠OCA=∠OAC,CD∥AP,则∠OCA=∠PAC,即可求解;
(2)证明△PAC∽△PCE,即可求解;
(3)利用△PAC∽△CAB、PC2=AC2-PA2,AC2=AB2-BC2,即可求解.
解:(1)∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,
∵CD∥AP,
∴∠OCA=∠PAC,
∴∠OAC=∠PAC,
∴AC平分∠BAP;
(2)连接AD,
∵CD为圆的直径,
∴∠CAD=90°,
∴∠DCA+∠D=90°,
∵CD∥PA,
∴∠DCA=∠PAC,
又∠PAC+∠PCA=90°,
∴∠PAC=∠D=∠E,
∴△PAC∽△PCE,
∴,
∴PC2=PAPE;
(3)AE=AP+PC=AP+4,
由(2)得16=PA(PA+PA+4),
PA2+2PA-8=0,解得,PA=2,
连接BC,
∵CP是切线,则∠PCA=∠CBA,
Rt△PAC∽Rt△CAB,
,而PC2=AC2-PA2,AC2=AB2-BC2,
其中PA=2,
解得:AB=10,
则圆O的半径为5.
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【题目】如图:已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是( )
A. 当AB=BC时,它是菱形;B. 当∠ABC=90°时,它是矩形;
C. 当AC=BD时,它是正方形;D. 当AC⊥BD时,它是菱形.
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【题目】为了了解某学校七年级4个班共180人的体质健康情况,从各班分别抽取同样数量的男生和女生组成一个样本,把体质情况量化得分,规定得分x满足x<60为不及格,60≤x<80为及格,80≤x<90为良好,≥90为优秀,下图是根据样本数据绘制的条形统计图和扇形统计图.
(1)本次抽查的样本容量是
(2)请补全条形图上的数字和扇形图中的百分数.
(3)请你估计全校七年级得分不低于90分的约有多少人.
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【题目】(1)证明推断:如图(1),在正方形中,点,分别在边,上,于点,点,分别在边,上,.
①求证:;
②推断:的值为 ;
(2)类比探究:如图(2),在矩形中,(为常数).将矩形沿折叠,使点落在边上的点处,得到四边形,交于点,连接交于点.试探究与CP之间的数量关系,并说明理由;
(3)拓展应用:在(2)的条件下,连接,当时,若,,求的长.
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【题目】共享单车为大众出行提供了方便,如图为单车实物图,如图为单车示意图,AB与地面平行,点A、B、D共线,点D、F、G共线,坐垫C可沿射线BE方向调节.已知,∠ABE=70°,∠EAB=45°,车轮半径为0.3m,BE=0.4m.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适,求此时CE的长.(结果精确到1cm)参考数据:sin70.≈0.94,cos70.≈0.34,tan70.≈2.75,≈1.41
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【题目】已知二次函数的图象过点,点(与0不重合)是图象上的一点,直线过点且平行于轴.于点,点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求证:点在线段的中垂线上;
(3)设直线交二次函数的图象于另一点,于点,线段的中垂线交于点,求的值;
(4)试判断点与以线段为直径的圆的位置关系.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与轴,轴分别相交于点,点在射线上,点在射线上,且,以为邻边作平行四边形.设点的坐标为,平行四边形在轴下方部分的面积为.求:
(1)线段的长;
(2)关于的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围.
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【题目】如图1,()绕点顺时针旋转得,射线交射线于点.
(1)与的关系是 ;
(2)如图2,当旋转角为60°时,点,点与线段的中点恰好在同一直线上,延长至点,使,连接.
①与的关系是 ,请说明理由;
②如图3,连接,若,,求线段的长度.
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【题目】每年5月份是心理健康宣传月,某中学开展以“关心他人,关爱自己”为主题的心理健康系列活动.为了解师生的心理健康状况,对全体2000名师生进行了心理测评,随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与
①数据收集:抽取的20名师生测评分数如下
85,82,94,72,78,89,96,98,84,65,73,54,83,76,70,85,83,63,92,90.
②数据整理:将收集的数据进行分组并评价等第:
分数x | |||||
人数 | 5 | a | 5 | 2 | 1 |
等第 |
③数据绘制成不完整的扇形统计图:
④依据统计信息回答问题
(1)统计表中的 .
(2)心理测评等第等的师生人数所占扇形的圆心角度数为 .
(3)学校决定对等的师生进行团队心理辅导,请你根据数据分析结果,估计有多少师生需要参加团队心理辅导?
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