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【题目】如图,梯形ABCD中,ADBCBAADDC,点ECB延长线上,BEAD,连接ACAE

求证:AEAC

ABAC FBC的中点,试判断四边形AFCD的形状,并说明理由.

【答案】1)见解析;(2)四边形AFCD是菱形,理由见解析

【解析】

1)首先连接BD,根据等腰梯形的性质,可得AC=BD,易得四边形AEBD是平行四边形,由平行四边形的对边相等,即可得AE=BD,继而证得结论;
2)由ABACFBC的中点,根据等腰梯形的性质,易求得∠ACB=30°,继而可证得AF=FC=CD=AD,则可判定四边形AFCD是菱形.

1)连接BD

∵梯形ABCD是等腰梯形

ACBD

BEAD ADBC

∴四边形AEBD是平行四边形

AEBD

AEAC

2)四边形AFCD是菱形, 理由是:

ABAC FBC的中点

AFCF

∴∠FAC=∠FCA

ADDC

∴∠DAC=∠DCA

ADBC

∴∠DAC=∠FCA

∴∠DCA=∠FAC

AFDC

ADBCAFDC

∴四边形AFCD是平行四边形

ADDC

∴四边形AFCD是菱形

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