【题目】将正整数按如图所示的规律排列下去,若有序数对(n,m)表示第n排,从左到右第m个数,如(4,3)表示8,已知1+2+3+…+n=,则表示2020的有序数对是( ).
A.(64,4)B.(65,4)C.(64,61)D.(65,61)
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【题目】如图,在正方形ABCD中,顶点A(﹣1,0),C(1,2),点F是BC的中点,CD与y轴交于点E,AF与BE交于点G.将正方形ABCD绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,则第99次旋转结束时,点G的坐标为( )
A.(,)B.(﹣,)C.(﹣,)D.(,﹣)
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【题目】如图,在5×5的网格中,横、纵坐标均为整点的数叫做格点,例如(0,1)、B(2,1)、C(3,3)都是格点,现仅用无刻度的直尺在网格中做如下操作:
(1)直接写出点A关于点B旋转180°后对应点M的坐标 ;
(2)画出线段BE,使BE⊥AC,其中E是格点,并写出点E的坐标 ;
(3)找格点F,使∠EAF=∠CAB,画出∠EAF,并写出点F的坐标 .
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【题目】已知等腰直角△ABC,∠C=90°,AC=2,D为边AC上一动点,连结BD,在射线BD上取一点E使BEBD=AB2.若点D由A运动到C,则点E运动的路径长为_____.
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【题目】如图1,平面直角坐标系中,△OAB的边OA在x轴的正半轴上,点B在第二象限,且∠AOB=135°,OA=2,OB=2,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B,并与y轴交于点C(0,5),点P在抛物线的对称轴上.
(1)求b、c的值,及抛物线的对称轴.
(2)求证:以点M(2,5)为圆心,半径为2的圆与边AB相切.
(3)若满足条件∠AOB+∠POD=180°与OB:OD=OA:OP的点D恰好在抛物线上,请求出此时点P的坐标.
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【题目】问题发现
小明在学习鲁教版八年级上册97页例4时,受到启发进行如下数学实验操作:
如图1,取一个锐角为45°的三角尺,把锐角顶点放在正方形ABCD的顶点D处,将三角尺绕点D旋转一个角度,使三角尺的直角边与斜边分别交边AB,BC于点E和点F,连接FE,在绕点D旋转过程中,发现线段AE,EF,CF满足EF=AE+CF的数量关系,但是不会进行证明,数学张老师给他如下的提示:把△ADE绕点D逆时针旋转90°至△DCE’的位置,小明画旋转后的图形,利用全等的知识证明了出来.你根据上面的提示画出旋转后的图形,并将上面的结论进行证明.
问题探究
小明的探究引发了老师的兴趣,老师将三角尺绕点D旋转到如图2的位置,三角尺的直角边与斜边分别交边AB,BC的延长线于点E和点F,老师问题小明此时AE,EF,CF满足什么数量关系,小明思考后说出了正确的结论.请同学们直接写出正确结论(不用写出证明过程).
拓展延伸
张老师让小明利用上面探究积累的学习经验,解答下面的问题:
如图3已知正方形ABCD,点E在边AB上,点F在边BC上,且∠EDF=45°,若CD=6,AE=2,求CF的长.
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【题目】如图,梯形ABCD中,AD∥BC,BA=AD=DC,点E在CB延长线上,BE=AD,连接AC、AE.
⑴ 求证:AE=AC;
⑵ 若AB⊥AC, F是BC的中点,试判断四边形AFCD的形状,并说明理由.
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【题目】如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式;
②当S最大时,在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的距离.选凉亭A,C作为观测点.如图,现测得∠CAB=45°,∠ACB=98°,AC=200米,请计算A,B两个凉亭之间的距离、(结果精确到1米)(参考数据:≈1.414,≈1.732,sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,tan 37°≈0.75)
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