Question

【题目】问题发现

小明在学习鲁教版八年级上册97页例4时,受到启发进行如下数学实验操作:

如图1,取一个锐角为45°的三角尺,把锐角顶点放在正方形ABCD的顶点D处，将三角尺绕点D旋转一个角度,使三角尺的直角边与斜边分别交边AB,BC于点E和点F,连接FE,在绕点D旋转过程中,发现线段AE,EF,CF满足EF=AE+CF的数量关系,但是不会进行证明,数学张老师给他如下的提示:把△ADE绕点D逆时针旋转90°至△DCE’的位置,小明画旋转后的图形,利用全等的知识证明了出来.你根据上面的提示画出旋转后的图形,并将上面的结论进行证明.

问题探究

小明的探究引发了老师的兴趣,老师将三角尺绕点D旋转到如图2的位置,三角尺的直角边与斜边分别交边AB,BC的延长线于点E和点F,老师问题小明此时AE,EF,CF满足什么数量关系,小明思考后说出了正确的结论.请同学们直接写出正确结论(不用写出证明过程).

拓展延伸

张老师让小明利用上面探究积累的学习经验,解答下面的问题:

如图3已知正方形ABCD,点E在边AB上,点F在边BC上,且∠EDF=45°,若CD=6,AE=2,求CF的长.

Answer 1

【答案】问题发现：证明见解析；问题探究:AE=CF+EF；拓展延伸:CF的长为:3

【解析】

问题发现

把△ADE绕点逆时针旋转90°至的位置，可得，由题意可证,可得. 由则可得EF=AE+CF;

问题探究

在AB上截取AM=CF,由题意可证△ADM≌△CDF,可得DM=DF,∠ADM=∠CDF,即可得∠EDF=∠MDE=45°，则可证△MDE≌△FDE,可得EF=EM,则可得AE=EF+CF

拓展延伸

在Rt△BEF中， 根据勾股定理可求CF的长.

解：问题发现：

把△ADE绕点D逆时针旋转90°至 的位置

∴

∴

在正方形ABCD中

∴

∴

∵∠EDF=45°

∴∠1+∠2=45°

∴∠3+∠2=45°

∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴

问题探究:

如图2:在AB上截取AM=CF,

∵∠A=∠DCF=90°，AM=CF,AD=CD
∴△ADM≌△CDF
∴DM=DF,∠ADM=∠FDC,

∵∠ADM+∠MDC=90°
∴∠CDF+∠MDC=90°，即∠MDF=90°
∵∠EDF=45°
∴∠EDF=∠MDE=45°，且MD=DF, DE=DE
∴△MDE≌△FDE

∴EF=ME
∵AE=AM+ME
∴AE=CF+EF

拓展延伸:

在正方形ABCD中AB=BC=CD=6, ∠EBF=90°

∵AE=2
∴BE=4

设CF=x，则BC=6-x，由（1）可知EF=AE+CF=2+x

在Rt△EBF中：

∴

∴x=3

∴CF的长为:3