Question

【题目】如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝90°，D是BC边的中点.

(1)若E在直角边AB上运动，F在直角边AC上运动，在运动过程中始终保持BE＝AF.则△EDF_____是三角形.

(2)在(1)的条件下，四边形AEDF的面积是否发生变化？若不变化，请直接写出当AB＝4时，四边形AEDF的面积；若变化，请说明理由.

(3)若E，F分别为AB，CA延长线上的点，且BE＝AF，其他条件不变，那么(1)中的结论是否还成立？画图并证明你的结论.

Answer 1

【答案】(1)等腰直角；(2)四边形AEDF面积不变；(3)成立，证明见解析.

【解析】

(1)题要通过构建全等三角形来求解.连接AD，可通过证△ADF和△BDE全等来求本题的结论.

(2)题可把将四边形AEDF的面积分成△ADF和ADE的面积和求解，由(1)证得△ADF和△BDE全等，因此四边形AEDF的面积可转化为△ABD的面积，由此得证.

(3)与(1)题的思路和解法一样.

(1)证明：如图1中，连接AD.

∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点

∴AD＝＝BD＝CD

且AD平分∠BAC

∴∠BAD＝∠CAD＝45°

在△BDE和△ADF中， ，

∴△BDE≌△ADF(SAS)

∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF

∵∠BDE+∠ADE＝90°

∴∠ADF+∠ADE＝90°

即：∠EDF＝90°

∴△EDF为等腰直角三角形.

故答案为等腰直角.

(2)解：四边形AEDF面积不变.

理由：∵由(1)可知，△AFD≌△BED，

∴S△BDE＝S△ADF，

而S四边形AEDF＝S△AED+S△ADF＝S△AED+S△BDE＝S△ABD

∴S四边形AEDF不会发生变化.

(3)解：仍为等腰直角三角形.

理由：如图2中，连接AD.

∵△AFD≌△BED，

∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE，

∵∠ADF+∠FDB＝90°，

∴∠BDE+∠FDB＝90°，

即：∠EDF＝90°，

∴△EDF为等腰直角三角形.