【题目】如图,在△ABC中,延长AC至点D,使CD=BC,连接BD,作CE⊥AB于点E,DF⊥BC交BC的延长线于点F,且CE=DF.
(1)求证:AB=AC.
(2)如果∠ABD=105°,求∠A的度数.
【答案】(1)证明见解析;(2)∠A=40°.
【解析】
(1)先由HL判定Rt△BCE≌Rt△CDF,得到∠ABC=∠DCF,然后由对顶角相等可得:∠DCF=∠ACB,进而可得∠ABC=∠ACB,然后由等角对等边,可得AB=AC;
(2)由CD=BC,可得∠CBD=∠CDB,然后由三角形的外角的性质可得:∠ACB=∠CBD+∠CDB=2∠CBD,由∠ABC=∠ACB,进而可得:∠ABC=2∠CBD,然后由∠ABD=∠ABC+∠CBD=3∠CBD=105°,进而可求:∠CBD的度数及∠ABC的度数,然后由三角形的内角和定理即可求∠A的度数.
(1)证明:∵CE⊥AB,DF⊥BC,
∴△BCE和△DCF均是直角三角形,
在Rt△BCE和Rt△DCF中,,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL),
∴∠ABC=∠DCF,
∵∠DCF=∠ACB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(2)解:∵CD=BC,
∴∠CBD=∠CDB,
∵∠ACB=∠CBD+∠CDB,
∴∠ACB=2∠CBD,
∵∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC=2∠CBD,
∵∠ABD=∠ABC+∠CBD=3∠CBD=105°,
∴∠CBD=35°,
∴∠ABC=2∠CBD=70°,
∴∠A=180°﹣2∠ABC=40°.
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【题目】如图,在ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证:AB=CF;
(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.
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【题目】如图,直线PQ∥MN,点A在PQ上,直角△BEF的直角边BE在MN上,且∠B=90°,∠BEF=30°.现将△BEF绕点B以每秒1°的速度按逆时针方向旋转(E,F的对应点分别是E′,F′),同时,射线AQ绕点A以每秒4°的速度按顺时针方向旋转(Q的对应点是Q′).设旋转时间为t秒(0≤t≤45).
(1)∠MBF′=__.(用含t的代数式表示)
(2)在旋转的过程中,若射线AQ′与边E′F′平行时,则t的值为__.
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【题目】为了保护视力,某学校开展了全校性的视力保健活动,活动前,随机抽取部分学生,检查他们的视力,结果如图所示,(数据包括左端点不包括右端点,精确到0.1);活动后,再次检查这部分学生的视力,结果如表格所示.
抽取的学生活动后视力频数分布表
分组 | 频数 |
4.0≤x<4.2 | 2 |
4.2≤x<4.4 | 4 |
4.4≤x<4.6 | 6 |
4.6≤x<4.8 | 10 |
4.8≤x<5.0 | 21 |
5.0≤x<5.2 | 7 |
(1)此次调查所抽取的样本容量为 ;
(2)若视力达到4.8以上(含4.8)为达标,请估计活动前该校学生的视力达标率;
(3)请选择适当的统计量,从两个不同的角度分析活动前后相关数据,并评价视力保健活动的效果.
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【题目】如图,在等腰三角形ABC中,∠A=90°,D是BC边的中点.
(1)若E在直角边AB上运动,F在直角边AC上运动,在运动过程中始终保持BE=AF.则△EDF_____是三角形.
(2)在(1)的条件下,四边形AEDF的面积是否发生变化?若不变化,请直接写出当AB=4时,四边形AEDF的面积;若变化,请说明理由.
(3)若E,F分别为AB,CA延长线上的点,且BE=AF,其他条件不变,那么(1)中的结论是否还成立?画图并证明你的结论.
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【题目】为了保护视力,某学校开展了全校性的视力保健活动,活动前,随机抽取部分学生,检查他们的视力,结果如图所示,(数据包括左端点不包括右端点,精确到0.1);活动后,再次检查这部分学生的视力,结果如表格所示.
抽取的学生活动后视力频数分布表
分组 | 频数 |
4.0≤x<4.2 | 2 |
4.2≤x<4.4 | 4 |
4.4≤x<4.6 | 6 |
4.6≤x<4.8 | 10 |
4.8≤x<5.0 | 21 |
5.0≤x<5.2 | 7 |
(1)此次调查所抽取的样本容量为 ;
(2)若视力达到4.8以上(含4.8)为达标,请估计活动前该校学生的视力达标率;
(3)请选择适当的统计量,从两个不同的角度分析活动前后相关数据,并评价视力保健活动的效果.
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【题目】如图,点P是菱形ABCD边上的一动点,它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D,设△PAD的面积为y,P点的运动时间为x,则y关于x的函数图象大致为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知:如图,AB为⊙O的直径,C是BA延长线上一点,CP切⊙O于P,弦PD⊥AB于E,过点B作BQ⊥CP于Q,交⊙O于H.
(1)如图1,求证:PQ=PE;
(2)如图2,G是圆上一点,∠GAB=30,连接AG交PD于F,连接BF,tan∠BFE=,求∠C的度数;
(3)如图3,在(2)的条件下,PD=6,连接QG交BC于点M,求QM的长.
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