【题目】如图1,平面直角坐标系中,△OAB的边OA在x轴的正半轴上,点B在第二象限,且∠AOB=135°,OA=2,OB=2,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B,并与y轴交于点C(0,5),点P在抛物线的对称轴上.
(1)求b、c的值,及抛物线的对称轴.
(2)求证:以点M(2,5)为圆心,半径为2的圆与边AB相切.
(3)若满足条件∠AOB+∠POD=180°与OB:OD=OA:OP的点D恰好在抛物线上,请求出此时点P的坐标.
【答案】(1)1,5,;(2)见解析;(3)点P的坐标为(2,﹣2+2)或(2,﹣2﹣2)或(2,﹣8)或(2,4).
【解析】
(1)如图1中,作BH⊥x轴于H.解直角三角形求出点B的坐标,利用待定系数法即可解决问题.
(2)如图2中,作MJ⊥AB于点J.求出直线AB,MJ的解析式,发现这两条直线的交点J在y轴上,求出MJ与半径比较即可解决问题.
(3)由题意∠POD=45°,OD:OP=OB:OA=,过点P作DP⊥OP,且PD=PD′=OP,连接OD,OD′,则点D和点D′满足条件,设P(2,m),则D(2﹣m,m+2),D′(2+m,m﹣2),利用待定系数法构建方程求出m即可解决问题.
(1)解:如图1中,作BH⊥x轴于H.
∵∠AOB=135°,
∴∠BOH=45°,
∵∠OHB=90°,OB=2,
∴BH=OH=2,
∴B(﹣2,2),
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B,并与y轴交于点C(0,5),
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+5,
∴抛物线的对称轴x=﹣=2.
(2)证明:如图2中,作MJ⊥AB于J.
∵A(2,0),B(﹣2,2),
∴直线AB的解析式为y=﹣x+1,
∵M(2,5),MJ⊥AB,
∴直线MJ的解析式为y=2x+1,
∵直线AB交y轴于(0,1),直线MJ交y轴于(0,1),
∴J(0,1),
∴MJ==2,
∵⊙M的半径为2,
∴MJ=r,
∴⊙M与直线AB相切.
(3)解:∵∠AOB+∠POD=180°,∠AOB=135°,
∴∠POD=45°
∵OB:OD=OA:OP,
∴OD:OP=OB:OA=,
过点P作DP⊥OP,且PD=PD′=OP,连接OD,OD′,则点D和点D′满足条件,
设P(2,m),则D(2﹣m,m+2),D′(2+m,m﹣2),
当D(2﹣m,m+2)在y=﹣x2+x+5上时,m+2=﹣(2﹣m)2+2﹣m+5,
解得m=﹣2±2,
此时P(2,﹣2+2)或(2,﹣2﹣2),
当D′(2+m.m﹣2)在y=﹣x2+x+5时,m﹣2=﹣(2+m)2+2+m+5,
解得m=﹣8或4.
此时P(2,﹣8)或(2,4),
综上所述,满足条件的点P的坐标为(2,﹣2+2)或(2,﹣2﹣2)或(2,﹣8)或(2,4).
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【题目】《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》(按照成书先后顺序)是中国古典长篇小说四大名著.
(1)小黄从这4部名著中,随机选择1部阅读,求他选中《西游记》的概率.
(2)某初中拟从这4部名著中,选择2部作为课外阅读书籍,求《西游记》被选中的概率.
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【题目】如图,在⊙O中,直径AB⊥CD,垂足为E,点M在OC上,AM的延长线交⊙O于点G,交过C的直线于F,∠1=∠2,连结CB与DG交于点N.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)求证:△ACM∽△DCN;
(3)若点M是CO的中点,⊙O的半径为4,cos∠BOC=,求BN的长.
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【题目】如图,四边形ABCD为菱形,以AD为直径作⊙O交AB于点F,连接DB交⊙O于点H,E是BC上的一点,且BE=BF,连接DE.
(1)求证:△DAF≌△DCE.
(2)求证:DE是⊙O的切线.
(3)若BF=2,DH=,求四边形ABCD的面积.
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【题目】2020年伊始,一场突如其来的疫情防控战在中华大地骤然打响,全国人民自觉居家减少外出,师生停课不停学,举国共抗疫情.某中学在复学后,为了了解学生们在居家期间的生活状态,以更好地保护复学后学生们的身心健康,对本校学生进行了“居家期间学习之余主要活动”的抽样调查.种类为:(A)强身健体、(B)艺术熏陶、(C)经典阅读、(D)分担劳动、(E)其他.针对以上活动种类,统计学生们花时间最多的种类的人数,以绘制成如下两幅不完整的条形统计图和扇形统计图.
请根据图中的信息,回答下列问题.
(1)被抽样调查的总人数为 人;
(2)补全条形统计图;
(3)若该校共有学生1800人,请估算种类D的大约人数;
(4)据此疫情经历,给自己提出一条人生建议 .
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【题目】将正整数按如图所示的规律排列下去,若有序数对(n,m)表示第n排,从左到右第m个数,如(4,3)表示8,已知1+2+3+…+n=,则表示2020的有序数对是( ).
A.(64,4)B.(65,4)C.(64,61)D.(65,61)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,对△ABC 进行循环往复的轴对称或中心对称变换,若原来点 A 坐标是(a,b),则经过第 2012 次变换后所得的 A 点坐标是( )
A. (a,b) B. (a,﹣b) C. (﹣a,b) D. (﹣a,﹣b)
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【题目】一副三角尺按如图的位置摆放(顶点C 与F 重合,边CA与边FE叠合,顶点B、C、D在一条直线上).将三角尺ABC绕着点C按逆时针方向旋转n°后(0<n<360 ),若ED⊥AB,则n的值是_______.
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