【题目】如图,在⊙O中,直径AB⊥CD,垂足为E,点M在OC上,AM的延长线交⊙O于点G,交过C的直线于F,∠1=∠2,连结CB与DG交于点N.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)求证:△ACM∽△DCN;
(3)若点M是CO的中点,⊙O的半径为4,cos∠BOC=,求BN的长.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【解析】解:(1)证明:∵△BCO中,BO=CO,∴∠B=∠BCO。
在Rt△BCE中,∠2+∠B=900,∠1=∠2,∴∠1+∠BCO=900,即∠FCO=90°。
∵OC是⊙O的半径,∴CF是⊙O的切线。
(2)证明:∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=∠FCO=900。
∴∠ACB-∠BCO=∠FCO-∠BCO,即∠3=∠1。
∴∠3=∠2。
∵∠4=∠D,∴△ACM∽△DCN。
(3)∵⊙O的半径为4,即AO=CO=BO=4,
在Rt△COE中,cos∠BOC=,
∴OE=COcos∠BOC=4×=1。∴BE=3,AE=5。
由勾股定理可得:,
。
∵AB是⊙O直径,AB⊥CD,∴由垂径定理得:CD=2CE=。
∵点M是CO的中点,∴CM=CO=×4=2
∵△ACM∽△DCN,∴,即。
∴。
(1)根据切线的判定定理得出∠1+∠BCO=900,即可得出答案;
(2)利用已知得出∠3=∠2,∠4=∠D,再利用相似三角形的判定方法得出即可。
(3)根据已知得出OE的长,从而利用勾股定理得出EC,AC,BC的长,即可得出CD,利用(2)中相似三角形的性质得出NB的长即可。
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【题目】在图1至图3中,的直径,切于点,,连接交于点,连接,是线段上一点,连接.
(1)如图1,当点,的距离最小时,求的长;
(2)如图2,若射线过圆心,交于点,,求的值;
(3)如图3,作于点,连接,直接写出的最小值.
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【题目】(1)发现
如图1,△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在BC边上,连接CE.
填空:
①∠DCE的度数是 ;
②线段CA、CE、CD之间的数量关系是 .
(2)探究
如图2,△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点D在BC边上,连接CE.请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系,并说明理由.
(3)应用
如图3,在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=4,AB=6.若点D满足DB=DC,且∠BDC=90°,请直接写出DA的长.
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【题目】2020年注定是不平凡的一年,新年伊始,一场突如其来的疫情席卷全国,全国人民万众一心,抗战疫情.为了早日取得抗疫的胜利,各级政府、各大新闻媒体都加大了对防疫知识的宣传.某校为了了解初一年级共480名同学对防疫知识的掌握情况,对他们进行了防疫知识测试.现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩(满分100分)进行整理分析,过程如下:
(收集数据)
甲班15名学生测试成绩分别为:78,83,89,97,98,85,100,94,87,90,93,92,99,95;100.
乙班15名学生测试成绩中90≤x<95的成绩如下:91,92,94,90,93
(整理数据):
班级 | 75≤x<80 | 80≤x<85 | 85≤x<90 | 90≤x<95 | 95≤x<100 |
甲 | 1 | 1 | 3 | 4 | 6 |
乙 | 1 | 2 | 3 | 5 | 4 |
(分析数据):
班级 | 平均数 | 众数 | 中位数 | 方差 |
甲 | 92 | a | 93 | 47.3 |
乙 | 90 | 87 | b | 50.2 |
(应用数据):
(1)根据以上信息,可以求出:a=_____分,b=______分;
(2)若规定测试成绩92分及其以上为优秀,请估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人;
(3)根据以上数据,你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好?请说明理由(一条理由即可).
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【题目】如图,在中,已知:,,,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转得到,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为__________.
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【题目】如图,在5×5的网格中,横、纵坐标均为整点的数叫做格点,例如(0,1)、B(2,1)、C(3,3)都是格点,现仅用无刻度的直尺在网格中做如下操作:
(1)直接写出点A关于点B旋转180°后对应点M的坐标 ;
(2)画出线段BE,使BE⊥AC,其中E是格点,并写出点E的坐标 ;
(3)找格点F,使∠EAF=∠CAB,画出∠EAF,并写出点F的坐标 .
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【题目】如图,在边长为6的等边△ABC中,AD是BC边上的中线,点E是△ABC内一个动点,且DE=2,将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF,则DF的最小值是______.
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【题目】如图1,平面直角坐标系中,△OAB的边OA在x轴的正半轴上,点B在第二象限,且∠AOB=135°,OA=2,OB=2,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B,并与y轴交于点C(0,5),点P在抛物线的对称轴上.
(1)求b、c的值,及抛物线的对称轴.
(2)求证:以点M(2,5)为圆心,半径为2的圆与边AB相切.
(3)若满足条件∠AOB+∠POD=180°与OB:OD=OA:OP的点D恰好在抛物线上,请求出此时点P的坐标.
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【题目】如图,一次函数与反比例函数的图象交于点和.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)点是线段上一点,过点作轴于点,交反比例函数图象于点,连接、,若的面积为,求点的坐标.
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