【题目】如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标为(3,3).将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的延长线交线段BC于点P,连AP、AG.
(1)求证:△AOG≌△ADG;
(2)求∠PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系,说明理由;
(3)当∠1=∠2时,求直线PE的解析式;
(4)在(3)的条件下,直线PE上是否存在点M,使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出M点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明过程见解析;(2)PG=OG+BP;理由见解析;(3)y=x﹣3;(4)(0,﹣3)或(2,3).
【解析】试题分析:(1)由AO=AD,AG=AG,根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,判断出△AOG≌△ADG即可.(2)首先根据三角形全等的判定方法,判断出△ADP≌△ABP,再结合△AOG≌△ADG,可得∠DAP=∠BAP,∠1=∠DAG;然后根据∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,求出∠PAG的度数;最后判断出线段OG、PG、BP之间的数量关系即可.(3)首先根据△AOG≌△ADG,判断出∠AGO=∠AGD;然后根据∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,判断出当∠1=∠2时,∠AGO=∠AGD=∠PGC,而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,求出∠1=∠2=30°;最后确定出P、G两点坐标,即可判断出直线PE的解析式.
(4)根据题意,分两种情况:①当点M在x轴的负半轴上时;②当点M在EP的延长线上时;根据以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形,求出M点坐标是多少即可.
试题解析:(1)在Rt△AOG和Rt△ADG中,(HL) ∴△AOG≌△ADG.
(2)在Rt△ADP和Rt△ABP中,∴△ADP≌△ABP, 则∠DAP=∠BAP;
∵△AOG≌△ADG, ∴∠1=∠DAG; 又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,
∴2∠DAG+2∠DAP=90°, ∴∠DAG+∠DAP=45°, ∵∠PAG=∠DAG+∠DAP, ∴∠PAG=45°;
∵△AOG≌△ADG, ∴DG=OG, ∵△ADP≌△ABP, ∴DP=BP, ∴PG=DG+DP=OG+BP.
(3)解:∵△AOG≌△ADG, ∴∠AGO=∠AGD, 又∵∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,∠1=∠2,
∴∠AGO=∠PGC, 又∵∠AGO=∠AGD, ∴∠AGO=∠AGD=∠PGC,
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°, ∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=180°÷3=60°,
∴∠1=∠2=90°﹣60°=30°; 在Rt△AOG中, ∵AO=3, ∴OG=AOtan30°=3×=,
∴G点坐标为(,0),CG=3﹣, 在Rt△PCG中,PC===3(﹣1),
∴P点坐标为:(3,3﹣3 ), 设直线PE的解析式为:y=kx+b, 则,
解得:, ∴直线PE的解析式为y=x﹣3.
(4)①如图/span>1,当点M在x轴的负半轴上时,, ∵AG=MG,点A坐标为(0,3),
∴点M坐标为(0,﹣3).
②如图2,当点M在EP的延长线上时,, 由(3),可得∠AGO=∠PGC=60°,
∴EP与AB的交点M,满足AG=MG, ∵A点的横坐标是0,G点横坐标为,
∴M的横坐标是2,纵坐标是3, ∴点M坐标为(2,3).
综上,可得 点M坐标为(0,﹣3)或(2,3).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l过点M(3,0),且平行于y轴.
(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(﹣2,0),B(﹣1,0),C(﹣1,2),△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1,△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2,写出△A2B2C2的三个顶点的坐标;
(2)如果点P的坐标是(﹣a,0),其中0<a<3,点P关于y轴的对称点是P1,点P1关于直线l的对称点是P2,求PP2的长.
备用图
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【题目】我市5月的某一周每天的最高气温(单位:℃)统计如下:19,20,24,22,24,26,27,则这组数据的中位数与众数分别是( )
A.23,24
B.24,22
C.24,24
D.22,24
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【题目】辽宁号航空母舰是中国人民解放军海军第一艘服役的航空母舰.满载时排水量为67500吨,将数据67500用科学记数法表示为( )
A.6.75×103B.6.75×104C.0.675×105D.675×102
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【题目】小莉的爸爸买了某演唱会的一张门票,她和哥哥两人都很想去观看,可门票只有一张,读九年级的哥哥想了一个办法,拿了八张扑克牌,将数字为1,2,3,5的四张牌给小莉,将数字为4,6,7,8的四张牌留给自己,并按如下游戏规则进行:小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张,然后将抽出的两张牌数字相加,如果和为偶数,则小莉去;如果和为奇数,则哥哥去.
(1)请用树状图或列表的方法表示出两张牌数字相加和的所有可能出现的结果;
(2)哥哥设计的游戏规则公平吗?为什么?若不公平,请设计一种公平的游戏规则.
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【题目】如果将抛物线y=x2+2向左平移1个单位,那么所得新抛物线的解析式为( )
A.y=(x﹣1)2+2B.y=(x+1)2+2C.y=x2+1D.y=x2+3
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【题目】如图,△ABO中,AB⊥OB,OB=,AB=1,把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O,则点A1的坐标为( )
A.(﹣1,-)
B.(﹣1,-)或(﹣2,0)
C.(-,﹣1)或(0,﹣2)
D.(-,﹣1)
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【题目】如图①所示是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,图②是边长为m-n的正方形.
(1)请用图①中四个小长方形和图②中的正方形拼成一个大正方形,画出示意图(要求连接处既没有重叠,也没有空隙);
(2)请用两种不同的方法列代数式表示(1)中拼得的大正方形的面积;
(3)请直接写出(m+n)2,(m-n)2,mn这三个代数式之间的等量关系;
(4)根据(4)中的等量关系,解决如下问题:若a+b=6,ab=4,求(a-b)2的值.
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