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【题目】如图,正方形ABCO的边OAOC在坐标轴上,点B坐标为(33).将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度αα90°),得到正方形ADEFED交线段OC于点GED的延长线交线段BC于点P,连APAG

1)求证:△AOG≌△ADG

2)求∠PAG的度数;并判断线段OGPGBP之间的数量关系,说明理由;

3)当∠1=∠2时,求直线PE的解析式;

4)在(3)的条件下,直线PE上是否存在点M,使以MAG为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出M点坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)证明过程见解析;(2)PG=OG+BP;理由见解析;(3)y=x﹣3(4)0﹣3)或(23).

【解析】试题分析:(1)AO=ADAG=AG,根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,判断出△AOG≌△ADG即可.(2)首先根据三角形全等的判定方法,判断出△ADP≌△ABP,再结合△AOG≌△ADG,可得∠DAP=∠BAP∠1=∠DAG;然后根据∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,求出∠PAG的度数;最后判断出线段OGPGBP之间的数量关系即可.(3)首先根据△AOG≌△ADG,判断出∠AGO=∠AGD;然后根据∠1+∠AGO=90°∠2+∠PGC=90°,判断出当∠1=∠2时,∠AGO=∠AGD=∠PGC,而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,求出∠1=∠2=30°;最后确定出PG两点坐标,即可判断出直线PE的解析式.

(4)根据题意,分两种情况:当点Mx轴的负半轴上时;当点MEP的延长线上时;根据以MAG为顶点的三角形是等腰三角形,求出M点坐标是多少即可.

试题解析:(1)Rt△AOGRt△ADG中,HL∴△AOG≌△ADG

(2)Rt△ADPRt△ABP中,∴△ADP≌△ABP, 则∠DAP=∠BAP

∵△AOG≌△ADG∴∠1=∠DAG; 又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°

∴2∠DAG+2∠DAP=90°∴∠DAG+∠DAP=45°∵∠PAG=∠DAG+∠DAP∴∠PAG=45°

∵△AOG≌△ADG∴DG=OG∵△ADP≌△ABP∴DP=BP∴PG=DG+DP=OG+BP

(3)解:∵△AOG≌△ADG∴∠AGO=∠AGD, 又∵∠1+∠AGO=90°∠2+∠PGC=90°∠1=∠2

∴∠AGO=∠PGC, 又∵∠AGO=∠AGD∴∠AGO=∠AGD=∠PGC

∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=180°÷3=60°

∴∠1=∠2=90°﹣60°=30°; 在Rt△AOG中, ∵AO=3∴OG=AOtan30°=3×=

∴G点坐标为(0),CG=3﹣, 在Rt△PCG中,PC===3﹣1),

∴P点坐标为:(33﹣3 ), 设直线PE的解析式为:y=kx+b, 则

解得:直线PE的解析式为y=x﹣3

(4)①如图/span>1,当点Mx轴的负半轴上时,, ∵AG=MG,点A坐标为(03),

M坐标为(0﹣3).

如图2,当点MEP的延长线上时,, 由(3),可得∠AGO=∠PGC=60°

∴EPAB的交点M,满足AG=MG∵A点的横坐标是0G点横坐标为

∴M的横坐标是2,纵坐标是3M坐标为(23).

综上,可得 点M坐标为(0﹣3)或(23).

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