Question

20．如图1所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，AB=6，CD=3，AD=4，动点M、N分别从A、B两点同时出发，点M沿AB向点B运动，点N沿BC向点C运动，速度都是每秒1个单位长度；当其中一个点到达终点时，另一个点也随机停止，设两个点的运动时间为t（秒）．
（1）线段BC的长为5；当t=$\frac{15}{4}$时，MN∥AD．
（2）设△DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
（3）连接BD，交MN于点P，是否存在某一时刻t，使得MN⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①作CE⊥AB，利用AB∥DC，DA⊥AB，可得：四边形AECD是矩形，由AB=6，CD=3，AD=4，得出CE=AD=4，BE=3，再利用勾股定理求出即可；②首先证明△BMN∽△BEC，再利用比例式求出即可；
（2）过点N作NH⊥x轴于点H，交DC的延长线于点F，由DC∥AB，可得△CFN∽△BHN，然后由相似三角形的对应边成比例，列出比例式：$\frac{BN}{BC}=\frac{BM}{BE}$，进而用含有t的式子表示NH和FN，然后再由S_△DMN=S_梯形ABCD-S_△ADM-S_△MNB-S_△CDN，即可得到S与t之间的函数关系式，进而确定S的最小值；
（3）MN与DB相交于P点，MN⊥BD，易证△MHN∽△DAB，可得比例式：$\frac{MH}{AD}=\frac{HN}{AB}$，然后设CF=x，进而表示DF=AH=3+x，MH=3+x-t，HB=6-3-x=3-x，然后由CF∥HB，可得△CFN∽△BHN，进而得到比例式：$\frac{CF}{HB}=\frac{CN}{NB}$，从而得到x与t的关系式：x=3-$\frac{3}{5}t$，进而用t表示MH，MH=6-$\frac{8}{5}t$，然后利用比例式：$\frac{MH}{AD}=\frac{HN}{AB}$，即可求出t的值．

解答 解：（1）①作CE⊥AB，如图1，

∵AB∥DC，DA⊥AB，
∴四边形AECD是矩形，
∴CE=AD，AE=DC，
∵AB=6，CD=3，AD=4．
∴BE=3，CE=4，
∴BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=5，
故答案为：5；
②过点C作CE⊥AB于点E，如图2，

∵MN∥AD，CE∥AD，
∴MN∥CE，
∴△BMN∽△BEC，
∴$\frac{BN}{BC}=\frac{BM}{BE}$，
即$\frac{t}{5}=\frac{6-t}{3}$，
解得：t=$\frac{15}{4}$，
所以当t=$\frac{15}{4}$时，MN∥AD．
故答案为：$\frac{15}{4}$；
（2）如图3，过点N作NH⊥AB于点H，交DC的延长线于点F，

∵DC∥AB，
∴△CFN∽△BHN，
∴$\frac{HN}{NF}=\frac{BN}{CN}$，
即$\frac{NH}{HF}=\frac{BN}{BC}$，
∴$\frac{NH}{4}=\frac{t}{5}$，
∴NH=$\frac{4}{5}$t，
∴NF=4-$\frac{4}{5}$t，
∵S_△DMN=S_梯形ABCD-S_△ADM-S_△MNB-S_△CDN，
∴S=$\frac{1}{2}$（3+6）×4-$\frac{1}{2}×$4×t-$\frac{1}{2}×$（6-t）×$\frac{4}{5}t$-$\frac{1}{2}$×3×（4-$\frac{4}{5}$t）
=$\frac{2}{5}{t}^{2}$-$\frac{16}{5}t$+12（0≤t≤5）
=$\frac{2}{5}$（t-4）²+$\frac{28}{5}$（0≤t≤5），
∵$\frac{2}{5}$＞0，
∴S有最小值，最小值是$\frac{28}{5}$；
（3）存在某一时刻t，使得MN⊥BD，如图4，

∵MN⊥BD，
∴∠BPM=90°，
∴∠PMB+∠PBM=90°，
∵∠ADB+∠PBM=90°，
∴∠PMB=∠ADB，
∵NH⊥AB，
∴∠NHM=90°，
∴∠NHM=∠A，
在△MHN和△DAB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠NHM=∠A}\\{∠PMB=∠ADB}\end{array}\right.$，
∴△MHN∽△DAB，
∴$\frac{MH}{AD}=\frac{HN}{AB}$，
设CF=x，则DF=AH=3+x，
∴MH=3+x-t，HB=6-3-x=3-x，
∵CF∥HB，
∴△CFN∽△BHN，
∴$\frac{CF}{HB}=\frac{CN}{NB}$，
即：$\frac{x}{3-x}=\frac{5-t}{t}$，
∴x=3-$\frac{3}{5}t$，
∴MH=6-$\frac{8}{5}t$，
∵$\frac{MH}{AD}=\frac{HN}{AB}$，
∴$\frac{6-\frac{8}{5}t}{4}=\frac{\frac{4}{5}t}{6}$，
解得：t=$\frac{45}{16}$，
∴当t=$\frac{45}{16}$时，MN⊥BD．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及直角梯形的性质和勾股定理的应用等知识，熟练地应用相似三角形的判定是解决问题的关键．