Question

15．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，3），动圆M经过A、O，分别与两轴的正半轴交于点B、C，则BC的取值范围是5≤BC＜$\frac{25}{3}$．

Answer 1

分析 先求出OA=5，由于动圆M经过点A、O．所以OA为直径时，动圆M的直径最小，此时BC=OA=5；当⊙M与x轴切于点O时，动圆M的直径最大，如图2，作AH⊥OE，根据切线的性质得BC为⊙M的直径，则∠BAO=90°，再证明Rt△OAH∽Rt△OBA，利用相似比可计算出OB=$\frac{25}{3}$，即可得出BC的取值范围．

解答 解：作AD⊥x轴于D，如图1所示：
∵点A的坐标是（4，3），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠BOC=90°，
∴BC为动圆M的直径；
当OA为直径时，动圆M的直径最小，此时BC=OA=5；

当⊙M与x轴切于点O时，动圆M的直径BC最大，如图2所示：
作AH⊥OE，
则∠AHO=90°，
∵⊙M与x轴相切，
∴BC为⊙M的直径，
∴∠BAO=90°，
∵∠AOH=∠BOA，
∴Rt△OAH∽Rt△OBA，
∴AO：OB=OH：AO，即5：OB=3：5，
∴OB=$\frac{25}{3}$，
∴BC的取值范围为5≤BC＜$\frac{25}{3}$．

点评 本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、勾股定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质；根据题意得出当OA为直径时，动圆M的直径最小，当⊙M与x轴切于点O时，动圆M的直径BC最大是解决问题的关键．