Question

7．已知抛物线y=-$\frac{2}{3}$（x-$\sqrt{3}$）²+4交于y轴于点C，直线AC交抛物线对称轴于点A，交x轴于点B，且点A的纵坐标为3，点M是线段BC上的动点，MD⊥x轴于点D，将△BMD沿MD所在直线折叠得△EMD，连EC．
（1）求直线AB解析式；
（2）当△EMC是直角三角形时，求EB的长；
（3）点P是抛物线对称轴上一动点，当BE=CE时，抛物线上是否存在一点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与△BCE相似？如果存在，指出这样的△APQ一共有几个，并求出在点A上方的所有点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出C点坐标，将A、C代入即可得到k、b的值，从而求出函数解析式；
（2）根据B、C的坐标和∠CBO=30°，由翻折可知∠MEB=30°，然后分两种情况讨论：当∠MEC=90°时；当∠MCE=90°时；讨论即可求解；
（3）由相似易得点P有三个，当∠PAQ=120°时，Q与C重合，易得点P：（$\sqrt{3}$，5）．

解答 解：（1）令x=0，则y=-$\frac{2}{3}$（x-$\sqrt{3}$）²+4=2，
∴C点坐标（0，2），
由题意得A点坐标为（$\sqrt{3}$，3），
设直线AB解析式为y=kx+b，代入A、C得$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ k=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.$，
可得y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2．
（2）由直线AB可知B坐标（-2$\sqrt{3}$，0），又知C（0，2），
∴tan∠CBO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CBO=30°，由翻折可知，∠MEB=30°，如图：

当∠MEC=90°时，∠CEO=60°，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴EB=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
当∠MCE=90°时，同理可得EB=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
不存在∠CME=90°的情况．
（3）3个．
设OE=a，当BE=CE时，在Rt△CEO中，由勾股定理可得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CEO=60°，∠PAC=120°，由相似可知，△APQ也是等腰三角形且顶角为120°．
如图：当∠PAQ=120°时，Q与C重合，易得点P：（$\sqrt{3}$，5）．

点评 本题考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式、翻折变换、三角函数、相似等．在求存在性问题时要注意利用相似三角形的性质．