Question

【题目】如图，已知二次函数 的图象经过点C（0，3），与轴分别交于点A、点B（3，0）.点、、都在这个二次函数的图象上，其中0＜＜4，连接DE、DF、EF，记△DEF的面积为S.

（1）求二次函数的表达式；

（2）若=0，求S的最大值，并求此时的值；

（3）若=2，当取不同数值时，S的值是否变化，如不变，求该定值；如变化，试用含的代数式表示S.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）当t=2时，S的最大值为8；（3）当取不同数值时，S的值永远为8，理由见解析

【解析】

（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，用待定系数法即可求出函数解析式；

（2）先求出直线DF的解析式，设点G的坐标为（t，﹣2t+3），用含t的代数式表示出EG的长，进而可列出S关于t的关系式，再根据二次函数的性质求出结论；

（3）用含n的代数式表示出DM、EN的长，然后根据，S=解答即可.

解：（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

，解得，

二次函数的解析是为y=﹣x2+2x+3；

(2)E在抛物线上，E（t，﹣t2+2t+3），

设直线DF的解析式为y=kx+b，

将点D和点F的坐标代入函数解析式，求得直线DF的解析式为y=﹣2x+3，

设点G的坐标为（t，﹣2t+3），

EG=﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+3）=﹣t2+4t．

S=EG×4=﹣2t2+8t=-2(t-2)2+8,

当t=2时，S的最大值为8，

此时t=2．

（3）当取不同数值时，S的值不变，

∵点、、都在这个二次函数的图象上，

∴、、

DM=8n+8，EN=4n+8，S==（12n+16）+（4n+8）-2（8n+8）=8.

所以，当取不同数值时，S的值永远为8.