Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．

（1）试说明AE=CD；

（2）若AC=10cm，求BD的长．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．

（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=10cm，即可求出BD的长．

【解答】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，

∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．

∴∠D=∠AEC．

又∵∠DBC=∠ECA=90°，

且BC=CA，

∴△DBC≌△ECA（AAS）．

∴AE=CD．

（2）解：由（1）得AE=CD，AC=BC，

∴Rt△CDB≌Rt△AEC（HL）

∴BD=EC=BC=AC，且AC=10cm．

∴BD=5cm．

【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．