Question

3．已知△ADC和△BCE均为等腰直角三角形，F是AB的中点，探究DF与EF的关系．

Answer 1

分析 延长DF到G，使FG=DF，连接DE，EG，GD，证得△AFD≌△BFG，根据全等三角形的性质得到BG=AD，∠GBF=∠A根据等腰直角三角形的性质得到AD=DC，CE=BE，∠A=∠DCA=∠ECB=∠EBC=45°，根据角的和差关系求得∠DCE=∠EBG推出△DCE≌△GBE，根据全等三角形的性质得到DE=EG，如何有等腰三角形的性质即可得到结论．

解答 解：延长DF到G，使FG=DF，连接DE，EG，GD，
∵F是AB的中点，
∴AF=BF，
∵∠DFA=∠EFB，
在△AFD与△BFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=FG}\\{∠AFD=∠BFG}\\{DF=FG}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△BFG，
∴BG=AD，∠GBF=∠A，
∵△ADC和△BCE均为等腰直角三角形，
∴AD=DC，CE=BE，∠A=∠DCA=∠ECB=∠EBC=45°，
∴∠DCE=180°-∠DCA-∠ECB=180°-45°-45°=90°，∠EBG=∠EBC+∠FBG=∠EBC+∠A=45°+45°=90°，
∴∠DCE=∠EBG，
∴BG=CD，
在△DCE与△GBE中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=BG}\\{∠DCE=∠EBG}\\{CE=BE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△GBE，
∴DE=EG，
∵DF=FG，
∴EF⊥DG，
∴DF⊥EF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．