Question

15．如图，已知点C在线段AB上，且AM=$\frac{1}{3}$AC．BN=$\frac{1}{3}$BC

（1）若AC=12，CB=6，求线段MN的长；
（2）若点C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC=a，请直接写出线段MN的长；
（3）如图2若点C为线段AB延长线上任意一点，且满足AC-CB=b，求线段MN的长．

Answer 1

分析 （1）根据AM=$\frac{1}{3}$AC．BN=$\frac{1}{3}$BC，可得AM的长，BN的长，根据线段的和差，可得答案；
（2）根据AM=$\frac{1}{3}$AC．BN=$\frac{1}{3}$BC，可得AM的长，BN的长，根据线段的和差，可得答案；
（3）根据AM=$\frac{1}{3}$AC．BN=$\frac{1}{3}$BC，可得MC的长，NC的长，根据线段的和差，可得答案．

解答 解：（1）由AM=$\frac{1}{3}$AC．BN=$\frac{1}{3}$BC，AC=12，CB=6，得
AM=$\frac{1}{3}$×12=4，BN=$\frac{1}{3}$×6=2．
由线段的和差，得
AB=AC+BC=12+6=18，
MN=AB-AM-NB=18-4-2=12；
（2）MN=AB-（AM+NB）=a-（$\frac{1}{3}$AC+$\frac{1}{3}$BC）=a-$\frac{1}{3}$a=$\frac{2}{3}$a；
（3）由AM=$\frac{1}{3}$AC．BN=$\frac{1}{3}$BC，得
MC=AC-AM=$\frac{2}{3}$AC，NC=BC-BN=$\frac{2}{3}$BC．
MN=MC-NC=$\frac{2}{3}$AC-$\frac{2}{3}$BC=$\frac{2}{3}$（AC-BC）=$\frac{2}{3}$b．

点评 本题考查了两点间的距离，利用AM=$\frac{1}{3}$AC．BN=$\frac{1}{3}$BC，得出AM的长，BN的长是解题关键，又利用了线段的和差．