Question

7．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，OA比OC大2，点E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于点D，过D作DF⊥EA．交AE于点F．
（1）求OA、OC的长及点O′的坐标；
（2）求证：DF为⊙O′的切线；
（3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形，由此他断定“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在矩形OABC中，利用边长之间的关系和面积公式即可求得OC，OA的长，再利用已知结合O′是OE的中点得出答案；
（2）连接O′D，通过证明△OCE≌△ABE得到DF⊥O′D，所以DF为⊙O′切线；
（3）分两种情况进行分析：①当AO=AP；②当OA=OP，从而得到在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P，又存在⊙O′外的点P₂、P₃、P₄，它们分别使△AOP为等腰三角形．

解答 （1）解：在矩形OABC中，设OC=x，则OA=x+2
∴x（x+2）=15
∴x₁=3，x₂=-5
∵x₂=-5（不合题意，舍去）
∴OC=3，OA=5；
∵点E为BC的中点，
∴EC=$\frac{5}{2}$，
∵O′是OE的中点，
∴O′（$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}$）；

（2）证明：如图，连接O′D；
在△0CE和△ABE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CO=AB}\\{∠OCB=∠ABC=90°}\\{CE=BE=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴△0CE≌△ABE（SAS），
∴EA=EO，
∴∠1=∠2；
∵在⊙O′中，O′O=O′D，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴O′D∥AE；
∵DF⊥AE，
∴DF⊥O′D，
∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径，
∴DF为⊙O′切线；

（3）解：不同意．理由如下：
①当A0=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P₁和P₄两点
过P₁点作P₁H⊥OA于点H，P₁H=0C=3；
∵AP_l=OA=5，
∴AH=4，
∴OH=l，
则点P₁（1，3），同理可得：P₄（9，3）；
②当OA=OP时，
同上可求得P₂（4，3），P₃（-4，3），
故在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P₁，又存在⊙O′外的点P₂、P₃、P₄，它们分别使△AOP为等腰三角形．

点评 此题主要考查了矩形的性质和圆中的有关性质，等腰三角形的判定以及一元二次方程在几何图形中的运用．要熟练掌握这些性质才能灵活运用．