Question

6．如图，抛物线经过三点A（1，0），B（4，0），C（0，-2）．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以B，P，M为顶点的三角形与△OBC相似（相似比不为1）？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2，再根据过A，B两点，即可得出结果．
（2）本题首先判断出存在，首先设出横坐标和纵坐标，从而得出PA的解析式，再分三种情况进行讨论，当$\frac{BM}{PM}$=$\frac{AO}{OC}=\frac{2}{1}$时和$\frac{BM}{PM}=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$时，当P，C重合时，△APM≌△ACO，分别求出点P的坐标即可．

解答 解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2．
将A（1，0），B（4，0）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}16a+4b-2=0\\ a+b-2=0.\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=\frac{5}{2}.\end{array}\right.$，
∴此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{5}{2}x-2$．

（2）存在．如图，设P点的横坐标为m，
则P点的纵坐标为-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2，
当1＜m＜4时，AM=4-m，PM=--$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当$\frac{BM}{PM}$=$\frac{AO}{OC}$时，
∵C在抛物线上，
∴OC=2，
∵OA=4，
∴$\frac{BM}{PM}$=$\frac{AO}{OC}$=2时，
∴△APM∽△ACO，
即4-m=2（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2），
解得m₁=2，m₂=4（舍去），
∴P（2，1）．
②当$\frac{BM}{PM}=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$时，△APM∽△CAO，即2（4-m）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2，
解得m₁=4，m₂=5（均不合题意，舍去）
∴当1＜m＜4时，P（2，1），
当m＞4时，AM=m-4，PM=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2，
①$\frac{BM}{PM}=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$，②$\frac{BM}{PM}$=$\frac{AO}{OC}=\frac{2}{1}$时，
把P（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2），代入得：2（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2）=m-4，2（m-4）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2，
解得：第一个方程的解是m=-2-2$\sqrt{3}$＜4（舍去）m=-2+2$\sqrt{3}$＜4（舍去），
第二个方程的解是m=5，m=4（舍去）
求出m=5，=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2=-2，
则P（5，-2），
当m＜1时，AM=4-m，PM=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2，
①$\frac{BM}{PM}=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$，②$\frac{BM}{PM}$=$\frac{AO}{OC}=\frac{2}{1}$时，
则：2（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2）=4-m，2（4-m）=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2，
解得：第一个方程的解是m=0（舍去），m=4（舍去），第二个方程的解是m=4（舍去），m=-3，
m=-3时，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2=-14，
则P（-3，-14），
综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14），

点评 本题综合考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积及其最大值问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形，正确的作出辅助线是解题的关键．