Question

20．已知：如图，抛物线l₁：y=$\frac{1}{3}$（x-m）²+n（m＞0）的顶点为A，与y轴交于点B，将抛物线l₁绕点O旋转180°，得到抛物线l₂，抛物线l₂的顶点为C，与y轴交于点D，其中点A、B、C、D中的任意三点都不在同一直线上
（1）若点A（3，1），则抛物线l₁的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x-3）²+1，抛物线l₂的解析式为y=-$\frac{1}{3}$（x+3）²-1；
（2）在（1）的条件下，抛物线l₁的对称轴上是否存在一点P，使PC+PD的值最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线l₁：y=$\frac{1}{3}$（x-m）²+n（m＞0）的顶点A落在x轴上时，四边形ABCD恰好是正方形，求m、n的值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的顶点式方程和二次函数图象的几何变换规律进行解答；
（2）存在，根据轴对称确定最短路线问题确定点P的位置：作D关于直线x=3的对称点D′，连接CD′交直线x=3于点P，即为所求．然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线CD′的解析式，再求解即可；
（3）根据题意确定点A的坐标为A（m，0），则n=0；然后利用正方形的对角线互相平分得到OA=OB，则由二次函数图象上点的坐标特征得到关于m的方程：m=$\frac{1}{3}$m²，通过解该方程得到m的值，注意m的取值范围．

解答 解：（1）∵抛物线l₁：y=$\frac{1}{3}$（x-m）²+n（m＞0）的顶点为A的坐标是（3，1），
∴抛物线l₁的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x-3）²+1，
又∵将抛物线l₁绕点O旋转180°，得到抛物线l₂，
∴抛物线l₂的开口方向向下，且顶点坐标是（-3，-1），
∴抛物线l₂的解析式为y=-$\frac{1}{3}$（x+3）²-1，
故答案是：y=$\frac{1}{3}$（x-3）²+1；y=-$\frac{1}{3}$（x+3）²-1；

（2）存在．理由如下：
如图1，作D关于直线x=3的对称点D′，连接CD′交直线x=3于点P，即为所求，
设直线CD′的解析式为y=kx+b（k≠0），
将C（-3，-1）和D′（6，-4）代入直线y=kx+b，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=-1}\\{6k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴该直线方程为：y=-$\frac{1}{3}$x-2．
当x=3时，y=-3
∴P（3，-3）；

（3）∵抛物线y=$\frac{1}{3}$（x-m）²+n的顶点A落在x轴上，
∴A（m，0），则n=0，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，即m=$\frac{1}{3}$m²，
解得：m₁=0（不合题意，舍去），m₂=3，
∴当四边形ABCD是正方形时，m=3，n=0．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，旋转的性质，正方形的性质，轴对称确定最短路线问题，难点在于（2）确定出点P的位置．