Question

9．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°．求证：AE=$\frac{1}{2}$（AB+AD）．

Answer 1

分析 过C作CM⊥AD于M，于是得到△MAC≌△EAC，根据全等三角形的性质得到AM=AE，证Rt△DMC≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得到BE=DM，求出AB+AD=AE+BE+AD=AE+DM+AD=2AM=2AE，即可得出答案．

解答 证明：过C作CM⊥AD于M，
∵CE⊥AB，
∴∠M=∠CEB=90°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠MDC=180°，
∴∠B=∠MDC，
∵AC平分∠BAD，CM⊥AD，CE⊥AB，
∴CM=CE，∠MAC=∠EAC，
在△MAC和△EAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAC=∠EAC}\\{∠M=∠AEC=90°}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△MAC≌△EAC（AAS），
∴AM=AE，
∵∠M=∠BEC=90°，
∴在Rt△DMC和Rt△BEC中
$\left\{\begin{array}{l}{CD=BC}\\{CM=CE}\end{array}\right.$
∴Rt△DMC≌Rt△BEC（HL），
∴BE=DM，
∴AB+AD
=AE+BE+AD
=AE+DM+AD
=2AM
=2AE，
即AE=$\frac{1}{2}$（AB+AD）．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．