Question

5．如图，直线l的解析式为y=$-\frac{4}{3}$x+b，它与坐标轴分别交于A、B两点，其中B坐标为（0，4）．
（1）求出A点的坐标；
（2）若点 P在y轴上，且到直线l的距离为3，试求点P的坐标；
（3）在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得∠QBA=90°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）动点C从y轴上的点（0，10）出发，以每秒1cm的速度向负半轴运动，求出点C运动所有的时间t，使得△ABC为轴对称图形．

Answer 1

分析 （1）利用点B代入直线，求出直线解析式，然后求直线与x轴交点坐标；
（2）已知点到直线距离，可以做点到直线的垂线，构造直角三角形，利用三角形相似就出对应线段长度，继而求出点的坐标；
（3）点Q在第一象限角平分线上，设Q（x，x），已知给出了指定角，利用勾股定理列方程，即可求出点Q的坐标；
（4）题目求△ABC为轴对称图形，实质是求动点C，使△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形性质分类讨论即可求出点的坐标，利用点的坐标求出运动时间．

解答 解：（1）将点B（0，4）代入直线l的解析式得：
b=4，
∴直线l的解析式为：y=$-\frac{4}{3}$x+4，
令y=0得：x=3，
∴A（3，0）．

（2）如图，过点P做直线AB的垂线，垂足为D，
∵OB=4，OA=3，
∴AB=5，
∵∠B是公共角，∠BDP=∠BOD，
∴△BOA∽△BDP，
∴$\frac{OA}{PD}$=$\frac{AB}{BP}$，
∴$\frac{3}{3}$=$\frac{5}{BP}$，
∴BP=5，
4+5=9，4-5=-1，
∴P（0，9）或（0，-1）．


（3）存在．
∵Q在第一象限的角平分线上，
设Q（x，x），
根据勾股定理：
QB²+BD²=QD²，
x²+（x-4）²+5²=x²+（x-3）²，
解得x=16，
故Q（16，16）．

（4）能使△ABC为轴对称图形，
则得：△ABC为等腰三角形，
当AB=BC时，
C（0，9）或（0，-1），
此时C点运动1秒或11秒，
当AB=AC时，
C（0，-4），
此时C点运动14秒，
当AC=BC时，
C（0，$\frac{7}{8}$），
此时C点运动$\frac{73}{8}$秒．
综上所述：当C点运动1秒、$\frac{73}{8}$秒、11秒、14秒时，能使△ABC为轴对称图形．

点评 题目考查了一次函数的综合应用、点的坐标、相似三角形判定及性质、勾股定理等知识，通过直线的基本性质及三角形的基本性质，找出相应的等量关系即可，题目考查灵活多变，对学生发现问题、解决问题有大的锻炼价值．