Question

15．已知，如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和BC上，DE的延长线交AC的延长线于点F，且BD=CF，DE=EF．
求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 过D作DG∥AF交BC于G，证明△DGE≌△FCE，得出DG=CF，再证明DB=DG，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠DGB，于是得到∠B=∠ACB，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．

解答 证明：过D作DG∥AF交BC于G，如图，
∴∠F=∠GDE，
在△DGE与△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDE=∠F}\\{DE=EF}\\{∠DEG=∠CEF}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△FCE（ASA），
∴GD=CF，∠DGE=∠ECF，
∴∠DGB=∠ACB，
∵BD=CF，
∴DG=DB，
∴∠B=∠DGB，
∴∠B=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．

点评 本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；解题中主要利用全等三角形对应边相等和等角对等边的性质解答，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，也是难点．