Question

已知x+y+z=0，求

x2

2x2+yz

+

y2

2y2+zx

+

z2

2z2+xy

的值．

Answer 1

考点：对称式和轮换对称式

专题：计算题

分析：根据已知条件，将代数式变形为：2x²+yz=-（x-y）（z-x），2y²+zx=-（x-y）（y-z），2z²+xy=-（z-x）（y-z），将上述三个变形结果分别代入所给的代数式中，化简、变形，运算、求值，即可解决问题．

解答：解：∵x+y+z=0，
∴x=-y-z，
2x²+yz=x²+x²+yz=x²+x（-y-z）+yz
=x²-xy-xz+yz=x（x-y）-z（x-y）
=-（x-y）（z-x）；
同理可得：2y²+zx=-（x-y）（y-z），
2z²+xy=-（z-x）（y-z），
∴原式
=

-x2

(x-y)(z-x)

+

-y2

(x-y)(y-z)

+

-z2

(z-x)(y-z)

=

-x2(y-z)-y2(z-x)-z2(x-y)

(x-y)(y-z)(z-x)

∵-x²（y-z）-y²（z-x）-z²（x-y）
=-x²y+x²z-y²z+xy²-xz²+yz²
=-xy（x-y）+z（x+y）（x-y）-z²（x-y）
=（x-y）（-xy+zx+zy-z²）
=（x-y）[x（z-y）-z（z-y）]
=-（x-y）（y-z）（z-x），
∴原式=

-(x-y)(y-z)(z-x)

(x-y)(y-z)(z-x)

=-1．

点评：该题考查了对称式和轮换对称式的化简与求值问题；解题的关键是深刻把握所给代数式的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式变形、化简、计算、求值．