Question

【题目】如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm

（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．

Answer 1

【答案】（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）（24-4π）cm2．

【解析】

（1）连接OD，根据圆周角定理得∠ABD=∠ACD=45°，∠ADB=90°，可判断△ADB为等腰直角三角形，所以OD⊥AB，而DE∥AB，则有OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线．

（2）由BE∥AD，DE∥AB得到四边形ABED为平行四边形，则DE=AB=8cm，然后根据梯形的面积公式和扇形的面积公式，利用S阴影部分=S梯形BODE﹣S扇形OBD求得图中阴影部分的面积．

解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：

连接OD，BD，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°．

∴∠ABD=∠ACD=45°．

∴△ADB为等腰直角三角形．

∵点O为AB的中点，

∴OD⊥AB．

∵DE∥AB，

∴OD⊥DE．

∴DE为⊙O的切线．

（2）∵BE∥AD，DE∥AB，

∴四边形ABED为平行四边形．

∴DE=AB=8cm．

，

=（24-4π）cm2．