Question

【题目】如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设D为抛物线的顶点，连接DA、DB，试判断△ABD的形状，并说明理由；

（3）设P为对称轴上一动点，要使PC﹣PB的值最大，求出P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）△ADB是等腰直角三角形；理由见解析；（3）P（2，﹣3）．

【解析】

（1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0）．所以1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根．由韦达定理易求b、c的值；

（2）先求出顶点D的坐标，再由勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，再由对称得AD＝BD，进而得△ABD是等腰直角三角形；

（3）连接CA，延长CA与直线x＝2交于点P，连接BP，此时P点就是PC﹣PB的值最大的点，求出直线AC的解析式，再求直线AC与直线x＝2的交点坐标便可．

（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．

∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．

∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，

∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根．

由韦达定理，

1+3＝﹣b，1×3＝c，

∴b＝﹣4，c＝3，

∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；

（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴D（2，﹣1），

∴AD2+BD2＝（2﹣1）2+（﹣1）2+（2﹣3）2+（﹣1）2＝4，

∵AB2＝22＝4，

∴AD2+BD2＝AB2，

∴△ADB是直角三角形，

由对称性有AD＝BD，

∴△ADB是等腰直角三角形；

（3）连接CA，延长CA与直线x＝2交于点P，连接BP，如图2，

∵A、B两点关于直线x＝2对称，

∴PB＝PA，

∴PC﹣PB＝PC﹣PA＝AC其值最大（∵另取一点P′，有P′C﹣P′B＝P′C﹣P′A＜AC），

令x＝0，得y＝x2﹣4x+3＝3，

∴C（0，3），

∵A（1，0），

∴易求直线AC的解析式为：y＝﹣3x+3，

当x＝2时，y＝﹣3x+3＝﹣3，

∴P（2，﹣3）．